EZT Lustige Kobelsache

09.11.2004, 15:25

Ancillius

EZT Lustige Kobelsache

Moin Jungs und Mädels

Ich hab im Rahmen einer Nachhilfe eine lustige Aufgabe gefunden, die sich als richtige Kopfnuss herausstellte.

Herauszufinden war die Wahrheit der Aussage:

Sei $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Dann existieren $\begin{eqnarray*} a , b , c , d \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n=(a^2+b^2)-(c^2+d^2). \end{eqnarray*}$

Leicht zu zeigen ist folgendes Lemma:

Sei n eine Primzahl $\begin{eqnarray*} \geq 3 \end{eqnarray*}$ , dann gibt es $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n=a²-b² \end{eqnarray*}$

Etwas kniffliger aber machbar war diese Darstellung für n durch 4 teilbar zu finden.

Damit finden wir ja schon eine Menge.

Ich finde nur leider nicht heraus, wieviele Darstellungen nach Art der Aussage für n existieren bzw. ob diese eben eindeutig sind, und ich kann nicht beweisen, dass ich ALLE natürlichen Zahlen damit erwische.

Achja, Internetresourcen zufolge funktioniert die Darstellung im Lemma auch für alle ungeraden natürlichen Zahlen und nicht nur für Primzahlen. Diesen Beweis habe ich mir allerdings nicht wirklich angeschaut, daher keine garantie dafür.

Kennt vielleicht wer diese Aufgabe?

09.11.2004, 15:28

Ancillius

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RE: EZT Lustige Kobelsache
sorry, hatte vergessen mich zu registrieren.

10.11.2004, 16:12

eule

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RE: EZT Lustige Kobelsache
Ich bin mir sicher dass keine Primzahl p>= von der Form
p=a^2-b^2=(a-b)(a+b) ist.

10.11.2004, 17:45

cheetah_83

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RE: EZT Lustige Kobelsache

Zitat:

Original von eule
Ich bin mir sicher dass keine Primzahl p>= von der Form
p=a^2-b^2=(a-b)(a+b) ist.

3 = 2^2 - 1^2 = (2-1)(2+1)

Augenzwinkern

10.11.2004, 21:28

Ancillius

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Nunja, ich kann Beispiele für Zahlen von 1 bis 4 angeben.

Die darstellung ist nicht eindeutig. Soviel steht fest. Zusammenhänge lässen sich leider auch nicht zwischen den Darstllungen finden. Nicht einmal die Primfaktorzerlegungen sehen gleich aus.

Die Richtigkeit der Aussage will ich daher kaum anzweifeln, da ich ja einen großteil aller Zahlen schonmal abgedeckt habe.

Aber ein Beweis für irgendwas will mir nicht einfallen.

11.11.2004, 13:10

eule

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Ok. War natürlcih falsch was ich oben geschrieben habe.
Jede ungerade Zahl 2k+1 lässt sich als Diiferenz zweier Quadrate darstellen. (k+1)^2-k^2=2k+1
Also lassen sich alle geraden Zahlen >4 so wie gefordert darstellen.

11.11.2004, 13:11

eule

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Dürfen a,b,c,d auch Null sein? Dann sind wir fertig.

11.11.2004, 14:32

Ancillius

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Nein, a,b,c,d sind positiv.

Deine Idee zur alle geraden Zahlen grösser als 4 Darzustellen verstehe ich leider nicht, denn du kannst als kleinstes Element (ungerade Zahl) einer Differenz von zwei Quadraten der geforderten Form eine 3 Erzeugen. Damit bekomme ich 3+3=6, 5+3=8 7+3=10. Also alle geraden Zahlen grösser als 6. Leider aber nicht als 4.

Es fehlen schlicht die Zahlen von 1-5. Natürlich kann ich diese einfach angeben, aber es muss doch ein wenig mehr dahinter stecken...

11.11.2004, 15:16

eule

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6 _ist_ die kleinste gerade Zahl _größer_ als 4.

11.11.2004, 16:54

Ancillius

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Mein Fehler. Hatte groesser-gleich gelesen.

Nunja, aber wirklich viel weiter komme ich mit meinem Komplettbeweis immernoch nicht ...

12.11.2004, 15:18

eule

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Damit sind wir sowieso fast fertig. Ungerade Zahlen größer 3 lassen sich darstellen als a^2-b^2+1^2-1^2.
Wir müssen also nur die Darstellbarkeit von 1,2 und 4 zeigen.
4=4^2+1^2-3^2-2^2
2=1^2+3^2-2^2-2^2
1 hab ich für dich übriggelassen^^.

12.11.2004, 16:01

Ancillius

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Es gibt eine Menge darstellungen der 1.

Interessant wäre aber viel mehr ein Beweis der nicht darauf hinaus läuft dass ich ein paar Zahlen schlicht angebe, sondern in wenigen Zeilen zeigt, dass man einfach alle Zahlen so darstellen kann.

12.11.2004, 16:28

eule

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Du mußt die Darstellung von nur 3 Zahlen expliezit darstellen. Der ganze Beweis hat weniger als 10 Zeilen. Was willst du mehr.
Die Darstellung einiger kleiner Zahlen explizit darzustellen kommt in vielen Beweisen vor. Du kannst das ganze vermutlich auch über den Qudrate Satz von Fermat lösen. Damit könntest du vermutlich auf die explizite Darstellung verzichten aber der Beweis wird länger und ist nicht mehr auf Niveau einer Schulaufgabe.

12.11.2004, 16:33

eule

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$\begin{eqnarray*} 1=(5^2+1^2)-(3^2+4^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2=(3^2+1^2)-(2^2+2^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4=(4^2+1^2)-(3^2+2^2) \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} n=2k+1, n \geq 3 \end{eqnarray*}$ dann gilt $\begin{eqnarray*} 2k+1=((k+1)^2+1^2)-(k^2+1^2) \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} n=2k, n \geq 6 \end{eqnarray*}$ dann gilt $\begin{eqnarray*} 2k=((k-1)^2+2^2)-((k-2)^2+1^2) \end{eqnarray*}$

Gehts viel kürzer?

13.11.2004, 21:13

Ancillius

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Ich bin mir nicht sicher ob das kürzer geht. Aber je länger ich über diese Frage nachdenke desto interessanter ist es, weitere zusammenhänge zu sehen.

Betrachten wir einfach mal Darstellungen der 6.

(2²+2²)-(1²+1²)=6
(11²+1²)-(10²+4²)=6

Ich sehe daran nur keinerlei Gemeinsamkeit. Daher wäre hier vielleicht die Frage wie vielleicht alle anderen Darstellungen aussehen.

Leider kenne ich den entsprechenden Satz von Fermat nicht. Gibts da einen guten Link zu einem Skript oder ähnlichen?

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