Permutation

09.11.2004, 23:15	steffi333	Auf diesen Beitrag antworten »
Permutation hoffe ihr könnt mir helfen $\begin{eqnarray} S_{n} \end{eqnarray}$ bezeichne die Gruppe der Permutationen von {1,....,n}; es sei An := {f aus $\begin{eqnarray} S_{n} \end{eqnarray}$ \| f gerade Permutation]. Zeige, dass An eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} S_{n} \end{eqnarray}$ ist. hoffe ihr könnt mir vielleicht helfen danke eure Steffi!!!
10.11.2004, 00:02	carsten	Auf diesen Beitrag antworten »
Um zu Zeigen, dass $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ ist, musst du die Gruppenaxiome nachweisen. das geht wie gewoehnlich, man nimmt sich beliebige Elemente aus der Gruppe und zeigt, dass das nacheinander Anwenden eine Gruppenoperation ist. zu zeigen sind also: - Operation ist wohldefiniert (fuehrt nicht aus $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ hinaus) - es gibt ein neutrales Element - zu jedem Element gibt es ein inverses Element - Assoziativitaet Hinweis: gewisse Sachen lassen sich aus $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ uebernehmen, welches selbst eine Gruppe ist. (z.B. das neutrale Element, man muss nur zeigen, dass es auch in $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ enthalten ist.) Gruesse Carsten
10.11.2004, 12:27	steffi333	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen lieben dank carsten. ich hab so meine probleme mit gruppen, deswegen weiß ich nicht so wirklich wie ich nachweise das es bei geraden permutationen ein inverses und neutrales element gibt oder wie ich es anschaulich mache welche operationen und welche äquivalenzen vorliegen. könnte mir vlt noch jemand helfen (oder sogar du nochmal carsten ) liebe grüße steffi
10.11.2004, 18:40	carsten	Auf diesen Beitrag antworten »
neutrales Element: Laut der Definition soll durch die Anwendung des neutralen Elementes auf ein beliebiges anderes Element "nichts passieren". In unserem Fall wird nicht permutiert, also suchen wir die Permutation, bei der nichts getauscht wird. Das ist offensichtlich {1,2,3,...,n}. Dieses Element ist das neutrale Element in $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ . Demzufolge besitzt es die gleichen Eigenschaften in einer Teilmenge von $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ . Jetzt muss nur noch gezeigt werden, dass {1,2,3,...,n} auch in $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ enthalten ist. Warum ist {1,2,3,...,n} eine gerade Permutation? inverses Element: Wenn ich ein inverses Element auf eine beliebige Permutation anwende, muss das neutrale Element rauskommen. Das neutrale Element kennen wir bereits. Eine beliebige Permutaton vertauscht die Reihenfolge von {1,2,3,...,n}. Das inverse Element angewendet auf diese Permutation, muss das neutrale Element ergeben. Es muss also "zuruecktauschen", wie muss das Inverse Element also aussehen? (Und warum ist es damit eine gerade Permutation, wenn sein inverses Element eine gerade Permutation ist?) Gruesse Carsten

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