Folge

25.11.2003, 20:48	Deakandy	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge Kann mir einer einen kleinen Anstoß geben. ich habe die Folge und will den Grenzwert haben: a(n)=(1+(1/n^2)^n Ich nehme an, das es etwas mit der Eulerschen zahl zu tun hat. Nur weiß ich nicht genau, wie ich das n^2 mit n in verbindung bringen kann. Ich nehme mal an das der Grenzwert kleiner als die Eulersche Zahl ist, da das n^2 schneller wächst als das n. Und wer ist schlauer als ich :] Bestimmt ne Menge Bis dann und
25.11.2003, 20:58	Thomas	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Grenzwert für n wogegen? Und eine Klammer hast du auch vergessen?
25.11.2003, 21:13	Steve_FL	Auf diesen Beitrag antworten »
also du kannst das auch umformen, falls die Klammer ganz an den Schluss gehört ansonsten müsste man halt wissen, welcher Grenzwert gemeint ist Wir hatten das schon mal, müsst halt nachschauen wie das mit einen "n"-Exponenten ist mfg
26.11.2003, 00:02	Mathefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Sache ist simpel zu beweisen. Vergess die Eulersche Zahl. g = lim(n->oo) (1 + 1/n²)^n Wir wenden den binomischen Lehrsatz an. Er besagt: (a + b)^n = Sum[k = 0, n] (n über k) a^(n-k)b^k Mit a = 1 und b = 1/n² ist nun offensichtlich, dass der Grenzwert für n->oo g = 1 sein muss. Beweis: Mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes kann die Potenz aus der Summe zweier Summanden in Summenform geschrieben werden. Dabei besitzt jeder Summand außer der erste (k = 0) den Faktor (1/n²)^m mit 1 <= m <= n. Damit sind diese Summanden für n->oo Nullfolgen, da 1/n² eine Nullfolge ist. Nur für k = ^0 bleibt a^n, also 1^n = 1 übrig. Somit gilt g = 1. PS: Der Beweis ist so nicht ganz Wasserfest, aufgrund des Binominalkoeffizienten (n über k) bei n->oo. (n über k) = n!/(k! * (n-k)!)
27.11.2003, 20:12	martins1	Auf diesen Beitrag antworten »
@Mathefreak: Der Beweis ist falsch und zwar aus folgendem Grund: Es stimt, dass jeder einzelne Summand gegen 0 strebt, aber die Anzahl der Summanden strebt gegen unendlich. In diesem Fall darfst du nicht einfach sagen: Der Grenzwert der Summe ist die Summe der Grenzwerte. Dies ist nur bei einer fixen Anzahl an Summanden erlaubt. Folgende Gegenbeispiele: a(n)=1/n+...+1/n insgesamt n-Mal b(n)=1/n²+...+1/n² wieder n-Mal c(n)=1/sqrt(n)+...+1/sqrt(n) auch n-Mal a(n)=n1/n=1 konvergiert gegen 1 b(n)=n1/n²=1/n konvergiert gegen 0 c(n)=n*1/sqrt(n)=sqrt(n) divergiert gegen plus unendlich Dabei strebten alle Summanden gegen 0. @Deakandy Den Grenzwert kann man folgendermaßen berechnen: Benutze die Ungleichung von Bernoulli um a(n) nach unten Abzuschätzen. Wende sie dann nochmals an, um 1/a(n) nach unten abzuschätzen, wodurch du a(n) nach oben abgeschätzt hast. Du erhälst durch die Abschätzung zwei Folgen x(n) und y(n), die gegen 1 konvergieren, sodass gilt: x(n)<=a(n)<=y(n) und damit lim x(n) <= lim a(n) <= lim y(n) 1 <= lim a(n) <= lim y(n) Woraus folgt: lim a(n)=1
27.11.2003, 20:39	Mathefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm aber einerseits gilt: lim(n->m) (a(n) + b(n)) = lim(n->m) a(n) + lim(n->m) b(n) Wo liegt das Problem? Das Verfahren kann man nämlich auch Anwenden, um die Eulersche Zahl in einer unendlichen Reihe zu entwickeln. Vielleicht hätte ich es anders schreiben sollen. (1 + 1/n²)^n Schnappen wir uns das k-Glied. Für dieses gilt: a(k) = n!/(k!(n-k)!) * 1/n^(2k) = (1 - 1/n)(1 - 2/n)(1 - 3/n)...(1 - k/n + 1/n)/(k! * n^k) Strebt n->oo so ist jeder der Summanden eine Nullfolge, außer der Summand mit k=1 => g = 1 Wo liegt der argumentative Fehler? Mit Hilfe der Grenzwertsätze ist dies doch richtig?
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29.11.2003, 01:51	martins1	Auf diesen Beitrag antworten »
@Mathefreak Die Regel lim(n->m) (a(n) + b(n)) = lim(n->m) a(n) + lim(n->m) b(n) ist sehr wohl gültig, aber sie gilt nur für eine endliche Anzahl von Summanden. Wenn du 730 konvergente Folgen hast, dann kannst du die Regel anwenden. Die wichtige Eigenschaft ist, dass die Anzahl der Folgen (Summanden) immer gleich bleibt. In diesem Fall erhöht sich aber die Anzahl der Summanden. a(n)=(1+1/n^2)^n a(1)=1+1/n^2 besteht aus 2 Summanden a(2)=1+2/n^2+1/n^4 besteht aus 3 Summanden a(3)=1+3/n^2+3/n^4+1/n^6 besteht aus 4 Summanden ... a(k)=.... besteht aus k+1 Summanden Die Anzahl der Summanden strebt gegen unendlich!! In diesem Fall dar man die Regel nicht anwenden. Ich gebe dir das folgende Gegenbeispiel: x(n)=Summe[k=1, n](1/n) x(n) besteht aus einer Summe von Nullfolgen. Jeder Summand hat die Gestalt 1/n. Laut deiner Argumentation, müsste x(n) gegen 0 streben. Macht es das??? Nein, denn die Anzahl der Summanden erhöht sich auch. Jedes x(n) hat n Summanden der Form 1/n. Also x(n)=1/n+...+1/n n-Mal x(n)=n*1/n=1 x(n) ist die Konsatnte Folge 1, und konvergiert gegen 1. Anderes Gegenbeispiel y(n)=Summe[k=1, n](1/sqrt(n)) y(n)=sqrt(n) (nach selben Umformungen) und divergiert gegen plus unendlich. Nochmals: Die Rechenregel darf man nur bei einer fixen Anzahl von Summanden anenden!!!
29.11.2003, 13:45	Mathefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann ist es also Zufall, dass es klappt. Danke nochmal

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