Rechenschritt erklären

10.11.2004, 10:44

Yoko

Rechenschritt erklären

Hallo,

ich habe hier eine Rechnung mit Lösung vorliegen,kann aber den ersten Rechenschritt nach dem gleichheitszeichen nicht nachvollziehen.
Könnte es mir jemand erklären?

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+...+(2n+1)=2(0+1+2+...+n)+n+1=2\frac{n(n+1)}{2} +n+1=(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

10.11.2004, 11:13

JochenX

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die aussage ist in der form schlicht weg falsch; sie gilt für n=0, aber schon für n=1 gilt sie nicht mehr....
sei also n=1, dann ist 2n+1=3, also links 1+2+3=6 und rechts (1+1)²=4....
das zweite gleichheitszeichen (das du verstehst) ist richtig, das erste (das du logischerweise nicht verstehst) ist falsch.... [damit natürlich auch die gesamte aussage]
woher hast du also diese Lösung?

ich bekomme, wenn ich das nachrechne: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{2n+1}~i = (2n+1)(n+1) \end{eqnarray*}$

mfg jochen

10.11.2004, 11:21

Yoko

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Hallo,

erstmal danke für deine Antwort. Unten findest du den Link zu dieser Lösung. Es ist die Aufgabe 4a

http://fizban.math.uni-hannover.de/~timm...w97/ueb4lsg.pdf

Gruß Yoko

10.11.2004, 11:27

JochenX

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hallo yoko,
vergleich doch noch mal deine aussage von oben mit der, die du zeigen sollst....
du hast 1+2+3+....
das übungsblatt hingegen 1+3+5+..... da ist ein großer unterschied.....

kannst du's jetzt selbst lösen oder war das oben nur ein tippfehler?

mfg jochen

10.11.2004, 11:29

klarsoweit

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dann hättest du in deiner Fragestellung in der Summe auch nur die ungeraden Zahlen hinschreiben dürfen.
Ist die Frage, warum das erste Gleichheitszeichen gilt, immer noch da?

10.11.2004, 11:45

Yoko

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Hi,

es war nur ein Tippfehler, ich weiß leider immernoch nicht was genau gemacht wurde.

10.11.2004, 12:49

klarsoweit

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also:
1 + 3 + ... + (2n + 1) sind n + 1 Summanden.
Jetzt subtrahieren wir von jedem Summanden 1, also insgesamt n + 1 und addieren das wieder:
das ergibt: 0 + 2 + ... + 2n + n + 1
bis zu dem 2n stehen nur gerade Summanden da,
jetzt noch 2 ausklammern und schon stets da,
aber diese Pünktchenbeweise mag ich eigentlich gar nicht

10.11.2004, 16:16

JochenX

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Zitat:

aber diese Pünktchenbeweise mag ich eigentlich gar nicht

ja, die sind zwar sehr gut zum vorstellen und oft auch, um überhaupt erst einmal auf explitzite formeln zu kommen, aber zum beweisen würde ich hier auch einfach vollständige induktion vorziehn.... [die hier ja sehr einfach ist]

davon schon mal was gehört, yoko?

mfg jochen

11.11.2004, 08:30

Yoko

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RE: Rechenschritt erklären
Danke für eure antworten, jetzt weiß ich endlich was gemacht wurde

Induktion brauche ich für diese Aufgabe allerdings nicht, weil dieser Teil in enier Grenzwertbestimmung drin stand. Siehe meinem Link

aber danke

Gruß yoko Wink

11.11.2004, 15:51

Yoko

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Hallo miteinander Ich will nix beweisen, sondern will nur ein Formel dafür erstellen.
Ich glaube ich habe es docoh noch nicht verstanden, weil ich habe mir mal eine weiter übungsaufgabe dazu genommen und zwar folgende

$\begin{eqnarray*} 5+8+...+(3n+2) \end{eqnarray*}$

Als Summe wäre das ja $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~3k+2 \end{eqnarray*}$ und laut Rechenprogramm ist
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~3k+2 = \frac{n(3n+5)}{2} \end{eqnarray*}$

aber wenn ich es rechne nach dem Beispiel von klarsoweit dann handelt es sich hier um n+2 Summanden

$\begin{eqnarray*} 3+6+...+3n+n+2 \end{eqnarray*}$ 3 ausgeklammert ergibt

$\begin{eqnarray*} 3(1+3+...+n)+n+2=3*\frac{n(n+1)}{2}+n+2=\frac{3n²+5n+4)}{2} \end{eqnarray*}$

Aber es stimmt mit dem vom Rechenprogramm nicht überein, zudem dieses Ergebnis auch nicht stimmt wenn ich für n z.B 2 einsetzte
Also wo liegt hier der Fehler?

Vielen Dank schon mal

Gruß Yoko

11.11.2004, 16:05

klarsoweit

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$\begin{eqnarray*} 5+8+...+(3n+2) \end{eqnarray*}$
sind nicht n + 2 Summanden, sondern n Summanden.
Für n = 1 hat man den 1. Summanden, für n = 2 den 2., usw.

Bei mir ist:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(3k+2) = \frac{n(3n+7)}{2} \end{eqnarray*}$
Hoffe es stimmt, habs nur auf die schnelle gerechnet.

Was ist denn das für ein Rechenprogramm?

11.11.2004, 19:34

JochenX

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ja, habe auch n/2*(3n+7) raus, sollte also stimmen...
ich rechne es dir mal kurz vor, Yoko:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~{(3k+2)}= (\sum_{k=1}^n~{3k}) + 2n= 3*(\sum_{k=1}^n~k) + 2n = 3* \frac{n(n+1)}{2}+2n \end{eqnarray*}$
und das zusammenfassen ergibt unsere formel....

ach und verbesser mal bitte deinen LaTeXCode von deinem letzten Beitrag

mfg jochen

edit: klammern eingefügt

11.11.2004, 19:35

Yoko

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Momentan haba ich Derive muss mich allerdings mal nach nen kostenlosen prog umschauen weil die Probe bald ausläuft.

Warum sind es jetzt nur n Summanden und in der Aufgabe vorher n+1 Summanden.
Steh total auf dem Schlauch glaub ich.

gruß yoko

12.11.2004, 09:34

klarsoweit

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also, wenn du schreibst:
1 + 3 + ... + (2n + 1)
dann erhältst du den ersten Summanden, wenn du n = 0 einsetzt, den 2. Summanden wenn du n = 1 einsetzt usw., den letzten Summanden, wenn du n = n einsetzt (klingt irgendwie blöd, aber was besseres fällt mir jetzt auch nicht ein). Insgesamt sind das n + 1 Summanden.

Besser ist es mit dem Summenzeichen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~(2k + 1) \end{eqnarray*}$
Dann sieht man sofort, dass es n+1 Summanden sind.

15.11.2004, 12:49

Yoko

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Jetzt hab ich den Dreh 100%ig raus

DANKE euch allen

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