Warum ist C^2 kein Körper?

10.11.2004, 12:05	e1337on	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist C^2 kein Körper? Als Verknüpfungen werden definiert: $\begin{eqnarray} (a_1,a_2) \oplus (b_1,b_2) := (a_1+b_1\, , \, a_2+b_2) \\ (a_1,a_2) \odot (b_1,b_2) := (a_1 \cdot b_1-a_2 \cdot b_2\, , \, a_1 \cdot b_2 + a_2 \cdot b_1) \end{eqnarray}$ Nun soll gezeigt werden, dass C^2 mit diesen Verknüpfungen kein Körper ist. Ich hab also mal alle Körperaxiome durchgerechnet und alle für erfüllt befunden, außer das zur Existenz des Inversen Elements der Multiplikation. Bei dem Blick Ich irgendwie nicht durch. Hab ich das richtige Axiom gefunden? Wenn ja, warum genau ist dieses Axiom nicht erfüllt?
10.11.2004, 12:56	pumuckl	Auf diesen Beitrag antworten »
Um das Inverse der Multiplikation zu finden musst du erstmal das Einselement finden, indem du die gleichung $\begin{eqnarray} (a_1,a_2) \odot (e_1, e_2) = (a_1,a_2) \end{eqnarray}$ löst für (ea,eb). Danach musst du versuchen die Gleichung $\begin{eqnarray} (a_1,a_2) \odot (x_1,x_2) = (e_1,e_2) \end{eqnarray}$ für x1,x2 zu lösen. wenns für alle beliebigen a1,b1 ne Lösung gibt hast du auch n inverses...
10.11.2004, 13:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum ist C^2 kein Körper? @ e1337on Ich denke, du bist auf der richtigen Spur. Als neutrales Element der Multiplikation kommt nur $\begin{eqnarray} (1,0) \end{eqnarray}$ in Frage. Wenn du jetzt versuchst, das multiplikative Inverse von $\begin{eqnarray} (1,i) \end{eqnarray}$ zu finden ( $\begin{eqnarray} i= \end{eqnarray}$ imaginäre Einheit), dann erhältst du aus $\begin{eqnarray} (1,i) \odot (b_1,b_2) = (1,0) \end{eqnarray}$ zwei sich widersprechende Gleichungen (multipliziere eine der beiden mit $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ durch).
10.11.2004, 19:40	e1337on	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für eure Hilfe.

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