Beweis Erwartungswert

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kingskid Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Erwartungswert
Hallo,
ich komm bei einem beweis mal wieder nicht weiter. folgendes ist gegeben:
- Folge unabh., ident. verteilter ZVen mit Werten in N_0
- N sei eine von unabhängige ZVe auch mit werten in N_0
-

- falls und sonst 0.

Beh. ist nun:

ist das irgendwie ein besonderer satz? oder einfach etwas, das sich halt beweisen lässt, wenn man weiß wie...??

Wenn ich das richtig verstanden habe, ist der Ansatz über die Indikatorfunktion, also man schreibt Y so:



d.h.

wie komm ich jetzt weiter? wie geht man mit einer Zufallsvariable um die im Laufzielindex einer Summe vorkommt???

Viele Grüße
kingkid
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Erwartungswert
Wenn schon, dann



Der Summand kann ja wohl getrost weggelassen werden.
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

ja schon, war nur der vollständigkeit halber... aber warum N>k? und muss die summe bis unendlich gehen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst doch das oberen Summenende nichtzufällig machen, ja? Und wenn du aber von nicht voraussetzen kannst, dass es beschränkt ist - wie willst du das sonst tun?
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

... deshalb frag ich ja...

d.h. ich muss das jetzt so in die def einsetzen?

...?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist zwar richtig - zeugt aber von einem bemerkenswerten Talent, den ungünstigsten, unbrauchbaren Weg zu wählen...

Wie wäre es denn, stattdessen einfach die Linearität des Erwartungswerts zu nutzen:




und dann wegen der Unabhängigkeit von und weiter umzuformen:

 
 
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

tja ist halt nicht jeder so begabt wie ich Hammer

gilt dann weiter dass ?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wie bei jeder Indikatorfunktion eines Ereignisses :

kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

... bringt einen die umformung auch weiter?

und kann ich das so umschreiben:
??

... und hilft es umzuformen...??
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die sind identisch verteilt, also ziehen wir das mal ganz schnell als konstanten Faktor aus der Reihe und lassen ihn hübsch in Ruhe... Augenzwinkern

Und dazu:

Zitat:
Original von kingskid
??

Ja, ist richtig. Und nun Summationsvertauschung - die kann gefährlich sein, wenn man beliebige (positive als auch negative) Summanden hat, von wegen Reihenumordnung und so. Hier liegen aber nur nichtnegative Summanden vor, und da gibt es nur absolute Konvergenz oder bestimmte Divergenz gegen , in beiden Fällen ist Vertauschung ungefährlich. Tun wir's also:

.
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

ah sehr cool, vielen dank für deine hilfe, ich glaub ich habs smile



also ist deine letzte zeile ... = ??

dürfen wir die 1 uns so dazudenken? dann stimmts, oder hab ich noch etwas übersehen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kingskid
dürfen wir die 1 uns so dazudenken?

Ja klar. Wenn du so willst, ist es



mit irgendeiner Konstanten C. Wenn du willst, kannst du das ja noch durch Induktion nachweisen. Big Laugh
Ich glaub es aber auch so.
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

Freude THX !
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

hallo, ich bins nochmal Wink

... wie kann ich hier die Var[Y] geschickt berechnen? (angenommen und ) ?

also wenn es am besten mit dieser formel funktioniert, dann häng ich daran zu berechnen:

??

... bitte um einen Tip!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, multipliziere das doch mal aus, als Doppelsumme:



Jetzt den Erwartungswert unter Nutzung der diversen Unabhängigkeiten:



weißt du noch von oben. Jetzt musst du dir noch was ähnlich Schlaues für



ausdenken... smile
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die hilfe!

erst eine nachfrage: wie kommst du auf diese umformung:



und hilft es das letzte so zu schreiben:
oder hast du das mit dem (k-2) schon etwas beabsichtigt...?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kingskid
erst eine nachfrage: wie kommst du auf diese umformung:

Der Ausdruck ist symmetrisch in . Also reicht es, die "Diagonale" zu betrachten, sowie und letzteres zu doppeln (wegen Spiegelung an der Diagonalen).

Zitat:
Original von kingskid
oder hast du das mit dem (k-2) schon etwas beabsichtigt...?

Nein, hab ich nicht - außerdem steht da (k-1) statt (k-2). Jedenfalls sollte das nach Umformung irgendwie auf einen Ausdruck mit und hinauslaufen, was also die Varianz ins Spiel bringt.
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

hm, ... hab folgenden vorschlag:



... kommt das so hin? nur der erste schritt ist wohl noch nicht richtig begründet... ??
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das Endergebnis kommt hin, die erste Zwischenformel dürfte aber falsch sein - vielleicht jast du dich da verschrieben.
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

neh verschrieben eigentlich nicht,muss ich das besser wieder mit der indikatorfunktion umformen? ... verwirrt verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist nicht klar, wie ein Ausdruck entstehen kann. unglücklich
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

naja, ist bei mir durch die summen entstanden... aber dann macht das wohl nicht so viel sinn...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Vor allem nicht im Zusammenhang mit . Ist es nicht eher sowas wie ?
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

so wie bei der Berechnung von E[Y] ? aber das analog umzuformen ist ja das (k-1) im weg...?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso ist das im Weg? Geht doch:

kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

oh perfekt, danke! dann muss ich jetzt nur noch alles schön zusammenfassen smile
und gauß kann man bei der summe anwenden, obwohl sie erst bei k=2 beginnt...? weil sie für k=1 sowieso null wäre?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kingskid
weil sie für k=1 sowieso null wäre?

Genau deswegen. Oder über Indexverschiebung

,

egal.
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

ok, alles klar- vielen Dank! smile
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