Abstand windschiefe Geraden

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Lille Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand windschiefe Geraden
Hallöchen Wink

Muss euch trotz des supi wetters mal wieder eine frage stellen...

wenn ich den Abstand zweier windschiefer Geraden berechnen will, hab ich hinterher laut Formel da stehen:

1/6 * (0 -3 5) * (4 -8 -4)

(das in den Klammern sollen Vektoren sein...)

Meine Frage ist jetzt, wie ich da auf ein Ergebnis komme, weil ich kann doch keine Vektoren multiplizieren, oder???

Wäre für jeden Tip dankbar,
Schönen Tag noch Linda
Divergenz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand windschiefe Geraden
Hallo,

hab jetzt die Formel nicht parat, weiß also gerade nicht genau, wo deine Darstellung herkommt, aber ich würde mal mutmaßen, dass es sich hierbei um ein Skalarprodukt handelt:
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde auch nochmal überprüfen ob der Faktor 1/6 stimmt, denn ich sehe nicht, dass einer der beiden Vektoren die Länge 6 hat.

Gruß Björn
Lille Auf diesen Beitrag antworten »

danke fr eure antworten, hab die aufgabe mittlerweile gelöst Freude

allerdings habert es jetzt bei einer anderen geschockt

Gegeben seien die Geraden g:x= (2 1 5) + r*(1 0 3)
und h:x=(3 4 2) + s(-1 4 1)

a) Zeige, dass g & h windschief sind und bestimme den Abstand dieser Geraden.
b) Bestimme die Punkte G auf g und H auf h so, dass die Strecke GH der Abstand der Geraden g und h ist.
c) Gib für die Ebene durch G und h eine Parametergleichung und eine Normalegleichung an.
d) Bestimme den Punkt A auf g, für welchen HA = HB mit B(2|1|5) gilt.
e) Welchen Winkel bildet die zu h parallele Gerade durch G mit der Geraden g?


Sooo...

bei a kriege ich für denAbstand 3/ Wurzel(11) raus, was mir allerdings sehr merkwürdig vorkommt.

und bei b weiß ich irgendwie nicht wie ich anfangen soll...

c ist mir klar, wenn ich den Punkt G aus b hätte.

bei d hab ich allerdings schon wieder meine Anfangsschwierigkeiten... verwirrt

Wäre echt super, wenn mir jemand helfen könnte,
Liebe Grüße Linda
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

a) Ich habe den Abstand zu



berechnet.

b)

Am einfachsten ermittelt man die Endpunkte G und H des Gemeinlotes mittels der Methode des geschlossenen Vektorzuges. Es gibt aber auch einen rein geometrischen Weg, bei welchem mittels des Normalvektors der beiden Richtungsvektoren und dem Richtungsvektor einer Geraden eine Ebene aufgebaut und diese mit der anderen Geraden geschnitten wird.

mY+
Musti Auf diesen Beitrag antworten »

@Mythos

Ich bin zwar nicht der Threadsteller, aber ich finde die Aufgabe sehr intressant.

Also ich hab deine Hilfe zu b) so verstanden. Ich machs mal allgemein.

Ich hab zwei Geraden und

Also als nächstes soll man eine Ebene aufstellen die den Normalenvektor zu den beiden Richtungsvektoren beinhaltet und einen weiteren Richtungvektor einer Geraden nehmen >>> E: . Diese Ebene soll nun mit der anderen Geraden geschnitten werden.
Hab es extra allgemein gemacht, damit es nicht so vorkommt als würde ich hier was vorrechnen wollen.

Hast du das so gemeint oder habe ich dich falsch verstanden?

Danke
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Musti!

Du hast mich nicht falsch verstanden, exakt so ist es. Verstehst du auch das Prinzip, also dass man damit zu einem Endpunkt des Gemeinlotes kommt?

P.S.: Wenn dich die Aufgabe interessiert, dann sieh' dir auch mal die Methode des geschlossenen Vektorzuges an (hier im Board schon mehrmals abgehandelt ...)

Gruß
mY+
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte es vorhin auch mal durchgerechnet.....nur mal Interesse halber, weil ich ja immer auf der Suche nach Aufgaben für meine Nachhilfeschüler bin Big Laugh ...kommen bei euch auch für G und H Koordinaten raus, die 11tel bzw 19 tel im Nenner haben ?

Gruß Björn
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
Ich hatte es vorhin auch mal durchgerechnet.....nur mal Interesse halber, weil ich ja immer auf der Suche nach Aufgaben für meine Nachhilfeschüler bin Big Laugh ...kommen bei euch auch für G und H Koordinaten raus, die 11tel bzw 19 tel im Nenner haben ?

Gruß Björn






mit dem von mythos angegebenen abstand
werner
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Punkt G hatte ich mich erst verrechnet Hammer

Jetzt komm ich auch auf dein Ergebnis...danke Werner smile

Soo schlimm sind die Ergebnisse zwar nicht aber ich präsentiere meinen Schülern dann doch lieber Aufgaben, wo man dann am Ende auch ein kleines Erfolgserlebnis mit schönen glatten Zahlen hat smile

Sowas kann ich mir ja auch selbst ausdenken Big Laugh

Achja...inwiefern hilft denn hier ein Vektorzug ?
Ich weiss natürlich was das ist....komme aber im Moment nicht darauf wie mich das hier weiter bringen sollte verwirrt

Wäre nett wenn mir jemand nochmal einen kleinen Tip geben könnte.

Gruß björn
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

mein weg ist immer der:



verwirrt
werner
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
mein weg ist immer der:



Meiner auch smile

Na dann bin ich mal echt gespannt wie mYthos hier einen Vektorzug anbringt.

Edit:

Ich Schussel....er meint doch bestimmt nur

Das bietet sich hier wahrscheinlich sogar umso mehr an weil die zweite Komponente des Richtungsvektors der Geraden g unabhängig von r ist.

Ist eigentlich auch ein schöner Weg, nur eben mit mehr Nachdenken verbunden, da man auf jeden Fall noch den normierten Normalenvektor braucht und sich auch überlegen muss wie er orientiert ist.

Björn
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde sagen, das ist dasselbe,
oder verwirrt
werner
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das meinte ich.

Beim geschlossenen Vektorzug ist die Summe aller Vektoren gleich dem Nullvektor. In dieser Identität kann man natürlich beliebig umstellen, sodass natürlich auch die von werner beschriebene Gleichung zutrifft.

mY+
Musti Auf diesen Beitrag antworten »

@Mythos

Ja ich verstehe das Prinzip. smile

Die Methode des geschlossenen Vektorzugs werde ich mir auch angucken.

Ich danke dir
Primzahl Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe mich auch mal mit der aufgabe beschäftigt und da es schon eine weile her ist, mit der analytischen geometrie, sind bei mir einige ungereimtheiten aufgetaucht. Big Laugh

zu aufgabe a)
kann sein das ich mich verrechnet habe, finde den fehler auch nicht, aber beim abstand habe ich raus.
hab die HNF benutzt.





ich hab das jetzt mal nicht allzu ausführlich hingeschrieben, aber ich glaube die schritte kennt ihr ja.

zu b)
wie man jetzt mit dem vektorzug auf die punkte H und G kommt, fällt mir jetzt auch nicht ein.
Bjoern1982 hat den vektorzug zwar hingeschrieben, aber wie sieht der nächste schritt aus?
bis auf den vektor sind die anderen vektoren ja nicht bekannt... verwirrt
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

dein normalenvektor ist falsch, y = 1 und damit bist du dabei.

und die koordinaten von H und G sind - wie oben schon hingemalt - über die geradengleichungen (mit den zu bestimmenden parametern) gegeben.

werner

edit: nur der ordnung halber, HNF gibt es in R3 nur für eine ebene.
Primzahl Auf diesen Beitrag antworten »

ahh stimmt hab ich glatt übersehen. kann man eigentlich anstatt nicht gleich
den vektor mit der richtigen länge angeben? dann spart man sich doch einen parameter oder?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dann musst aber den Abstand zuerst ausrechnen! Das kannst du dir aber mit der anderen Methode ersparen!!

mY+
Lille Auf diesen Beitrag antworten »

ich sehe, ich hab mit meiner aufgabe ja für reichlich diskussionsstoff gesorgt Augenzwinkern

aber ehrlich gesagt, hat mir das alles kein bisschen weitergeholfen...

wie komme ich zum Beispiel auf den Ansatz von werner??Habe jetzt zwar damit gerechnet und auch die beiden Punkte rausbekommen, würd aber gern wissen, wie man darauf kommt!

bei c) bekomme ich als Normalenform -27,5x1 + 11x2 - 71,5x3 = 0

und bei d hänge ich wieder fest und weiß nicht, wie ich da anfangen soll Forum Kloppe
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst das als geschlossenen vektorzug betrachten - siehe mythos oder
wie ich einfaches gemüt als schnitt von 2 geraden:
1) ich nehme an, ich kenne den punkt G schon. der liegt auf g, erfüllt also die geradengleichung g.
2)von diesem punkt G als aufpunkt bastle ich jetzt eine gerade l mit einem richtungsvektor, der sowohl auf g als auch h senkrecht steht. diese bedingung erfüllt der vektor aus dem kreuszprodukt der beiden richtungsvektoren.
3) diese gerade l schneide ich nun mit der geraden h,
wie üblich durch gleichsetzen.
das ergibt das LGS



für die 3 parameter r, s und t.

(die ersten 2 terme links beschreiben den punkt G, der nächste den normelenvektor zu g und h, die rechte seite steht für den punkt H)

daher erhalte ich G, indem ich das berechnete r in g einsetze, und H mit s in h.
(zur kontrolle kannst du noch für t einsetzen, das ergibt wieder H, oder sollte es zumindest unglücklich )

als vektorzug geschrieben, da gehört alles nach links:




ok verwirrt
werner

edit:
deine ebene ist sehr fragwürdig, der punkt P(3/4/2), wo ist der verwirrt

E: 45x - 18y + 117z = 297

d) kugel um H mit radius BH geschnitten mit g, ein punkt ist der aufpunkt von g.
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