solve ( a^b=c^d, [a,b,c,d] )

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zt Auf diesen Beitrag antworten »
solve ( a^b=c^d, [a,b,c,d] )
Hallo!

Wie geht man generell vor (gibt es da konkrete Stichworte unter denen ich etwas nachlesen kann??), wenn man die Gleichung

mit , sowie und lösen will?

Sei etwa und ich möchte nun wissen, für welches die Gleichung erfüllt ist.

Ich bin quasi auf der Suche nach allen Quadrupeln . Auch wäre es ganz nice zu wissen, wie man schnell erkennt, wann es keine Lösung gibt.

Ich habe bei dieser Problemstellung aber sowas von keinen Ansatz. verwirrt

edit siehe oben..
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Soll eine rationale Funkion sein ? Dann ist das leicht zu bewerkstelligen.
Die Trivialläsung gilt ja für alle und in deinem Beispl könnte man nach auflösen und dann eine Abhänigkeit von welche man dann so wählen kann, das ein gültiges rauskommt.

\\edit: hatte c und b verdreht.
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, die Triviallösg. (hab's oben editiert) hab' ich doch glatt übersehen. Bloß wie stellt man nach a um? verwirrt

Edit: Boing, es soll sein, weshalb die Triviallösung eh nicht gültig ist. ^^
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du redest also über solche Potenzgleichungen mehr auf zahlentheoretischer Basis? Das kann sehr eklig werden, siehe z.B.

zahlentheorie
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Ich merk' schon.
Bert Auf diesen Beitrag antworten »
RE: solve ( a^b=c^d, [a,b,c,d] )
Zitat:
Original von zt
Hallo!

Wie geht man generell vor (gibt es da konkrete Stichworte unter denen ich etwas nachlesen kann??), wenn man die Gleichung

mit , sowie und lösen will?

Sei etwa und ich möchte nun wissen, für welches die Gleichung erfüllt ist.

Ich bin quasi auf der Suche nach allen Quadrupeln . Auch wäre es ganz nice zu wissen, wie man schnell erkennt, wann es keine Lösung gibt.

Ich habe bei dieser Problemstellung aber sowas von keinen Ansatz. verwirrt

edit siehe oben..


Habe ich etwas falsch verstanden?

Du fragst, wann
(17*a-1)^b=(17*c-1)^d
erfüllt ist?

z.B. wenn

b=2
c=3
d=6
a=(((17*c-1)^d)^(1/b)+1)/17=7353

und das in einer allgemeinen Form, oder wie?
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@Bert

Nettes Quadrupel. Ich hatte mir nur ein ganzzahliges überlegt, um zt die Schwierigkeiten zu verdeutlichen:



Aber dein Beispiel ist da viel besser, weil es keine "negativen" Teile nötig hat. Augenzwinkern
Bert Auf diesen Beitrag antworten »

Ich liebe Palindrome, was hältst du von diesem?

b=3
c=2
d=9
a=60606
smile
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bert
Ich liebe Palindrome, was hältst du von diesem?

b=3
c=2
d=9
a=60606
smile


Also entweder muss sein damit oder wenn sein soll ist
Bert Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lazarus
Zitat:
Original von Bert
Ich liebe Palindrome, was hältst du von diesem?

b=3
c=2
d=9
a=60606
smile


Also entweder muss sein damit oder wenn sein soll ist


Danke. Sorry, das sollte natürlich so gehn:

b=3; c=2*b=6; d=3*b=9
ergibt a=60606

sorry, sorry... ich war so begeistert von diesem Quadrupel, daß ich beim Schreiben das c nicht multipliziert habe...

Jetzt sehe ich:

für
b=2
c=6
d=6
geht es auch a=60606

smile
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Ja es ist auch wirklich schön. Freude
Bert Auf diesen Beitrag antworten »
RE: solve ( a^b=c^d, [a,b,c,d] )
Zitat:
Original von zt

Ich bin quasi auf der Suche nach allen Quadrupeln . Auch wäre es ganz nice zu wissen, wie man schnell erkennt, wann es keine Lösung gibt.


Also, ich bin kein Mathematiker, Latex kann ich auch nicht, und weiß immer noch nicht, was du eigentlich untersuchen willst, aber mit der Gleichung für a, die ich dir oben geschrieben habe:

a=(((17*c-1)^d)^(1/b)+1)/17

ergeben sich für a, b, c und d interessante Beziehungen,
wenn
d=n*b //n ist ganze positive Zahl > 1
dann
c=konst1 und a=konst2 (a wird von b und d unabhängig)

wenn
d=n*b //n ist ganze positive UNGERADE Zahl > 1
dann a = ganze positive Zahl (das hast du gesucht, oder?)

wenn
d=n*b //ist ganze positive gerade Zahl > 1
dann a = positive Zahl "mit Komma" (eben keine ganze Zahl)
wenn
d<b
dann a = positive Zahl "mit Komma" (eben keine ganze Zahl)
_________________

Ansonsten mache ich gerade andere Sachen, habe nur einen einfachen TR für 9,95€ und bin in Eile, also:
wenn
ich mich verrechnet habe
dann
sorry; vielleicht kann das einer von den Mathematikern dann nachprüfen
smile
____
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ist im Grunde genommen richtig, und liefert eine ganz ansehnliche Anzahl Lösungen. Leider ist es kein Nachweis, dass man damit wirklich alle Lösungen der Gleichung erwischt hat - das wäre dann noch eine ganz ordentliche Herausforderung.
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal allgemein:









Speziell: Angenommen jetzt gilt: und man setzt ,
dann reicht es doch theoretisch aus, die Gleichung

zu lösen, oder?

Dann würde ja auf ein einziges Tripel unendlich
viele Quadrupel fallen. Richtig?

Ich hab' zwar keine Ahnung wie ein solches (von abhängiges) Tripel aussehen könnte,
aber meine Idee war einfach nur, dass es evtl. leichter zu bestimmen ist.



Hilft das? Hilfe
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du gründlich gelesen hast: bzw. umgekehrt ist genau der Fall, den Bert oben dargelegt hat.

Interessant ist der Fall, wo das nicht gilt, und wie es da mit den Lösungen aussieht.
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte die Seite seit gestern nicht mehr neugeladen. Sry.
Bert Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur Dent

Dein Quadrupel mit a=1, b=4, c=-15, d=2 verwirrt mich, weil im ersten Posting steht: a, b, c, d sollen natürliche Zahlen ungleich 1 sein, und da sehe ich Widerspruch, den ich nicht verstehe. traurig Aber ich versuche deutlich zu machen, wie ich die Parameter b, c und d wählen würde.

Die Menge der natürlichen Zahlen enthält (nur) positive ganze Zahlen. zt hat für a, b, c und d diese Menge eingeschränkt (ohne 1; oder "alle natürlichen Zahlen >1", wobei a ungleich c und b ungleich d). Diese Zahlen habe ich zugrunde genommen und habe betrachtet, wann die Gleichung
(17*a-1)^b=(17*c-1)^d
erfüllt wird.

Um die Problematik "sichtbar" zu machen, wählte ich für a den Ausdruck
a=(((17*c-1)^d)^(1/b)+1)/17 (auf dem Papier sieht die Formel besser aus).
Diese Gleichung zeigt uns, daß a vom VERHÄLTNIS d/b abhängt, und deshalb können wir die Diskussion der beiden Parameter b und d als n=d/b vereinfachen und nur n betrachten.
Also umgeformt:
a=((17*c-1)^n+1)/17
n muß >0 sein (weil d>0 und b>0)
n muß ungleich 1 sein (weil d ungleich b)
so haben wir nur eine begrenzte Anzahl von Fällen, die wir untersuchen müssen.

Fall_I: n>1 (d.h. n=d/b)
Fall_Ii: n = ganze Zahl
wenn
n = ganze positive UNGERADE Zahl >1 (also n=3;5;7;9;11...)
dann
a=((17*c-1)^n+1)/17 = IMMER ganze positive Zahl >1 (= das, was du suchst)

wenn
n = ganze positive GERADE Zahl >1 (also n=2;4;6;8;10...)
dann
a=((17*c-1)^n+1)/17 = NIE ganze positive Zahl >1 (a = eine "Kommazahl")

Fall_Iii: n = nicht ganze Zahl (n= eine "Kommazahl" und n>1)
Für mich ist dieser Fall entsprechend der Anfangsdiskussion von d und b; wo ich d und b durch n ersetzt habe. Ich GLAUBE, für n= eine "Kommazahl" und n>1 gibt es für a = "ganze positive Zahl >1" keine Lösung.

Fall_II: n<1 (d.h. d<b)
Hier erhalten wir nur die aus dem Fall_Ii uns bekannten, aber "vertauschten" Quadrupeln:
Also: ergab die Gleichung für b1=2; d1=6; c1=6 (wobei n1=3)
A1=60606
so liefert der "Tausch" b2=6; d2=2; c2=60606 (wobei n2=1/3)
a2=6
Du siehst, daß die von mir aufgestellte Gleichung für n = "ganze positive UNGERADE Zahl >1" das "StammQuadrupel" (b1; c1; d1; a1) liefert, und das "vertauschte" erhältst du einfach durch: b2=d1; d2=b1; c2=a1; a2=c1. Ich GLAUBE, für n = "eine Kommazahl und n<1" gibt es für a = "ganze positive Zahl >1" keine Lösung, außer den "vertauschten" Quadrupeln, die ich gerade erwähnt habe.

Wie Arthur Dent bemerkte, liefert meine Gleichung (unendlich) VIELE Quadrupeln, aber ich weiß nicht, ob es ALLE sind. Dennoch hoffe ich, daß das zt weiterbringt. smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bert
Dein Quadrupel mit a=1, b=4, c=-15, d=2 verwirrt mich, weil im ersten Posting steht: a, b, c, d sollen natürliche Zahlen ungleich 1 sein, und da sehe ich Widerspruch, den ich nicht verstehe.

Keine falsche Bescheidenheit, du verstehst ihn: Das von mir angegebene Quadrupel verletzt klar den vorgegebenen Wertebereich für a,b,c,d, also ist es keine Lösung der Ursprungsgleichung. Hätte ich vielleicht deutlicher dazuschreiben sollen, statt nur der Hinweis auf "negative Teile". Augenzwinkern

Aber zahlentheretisch betrachtet ist diese Gleichung nunmal auch auf ganz interessant, deswegen habe ich das Tupel doch genannt.


EDIT: Als Entschädigung für die angerichtete aber nicht beabsichtigte Verwirrung nenne ich mal ein Lösungs-Quadrupel, wo weder noch gilt:



Dir ist natürlich schnell klar, wie das aufgebaut ist... smile
Bert Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
smile


OK, Asche auf mein...
b=9; d=15; c=2114; a=2302082

Ich dachte, zt wollte Frösche zählen...

Sorry, duck und weg...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich liefere mal noch ein paar Gedanken:

Wir sind uns ja einig, dass man sich zunächst auf teilerfremde konzentrieren kann. Die müssen dann beide ungerade sein, denn:

Andernfalls sind o.B.d.A. gerade und ungerade, womit

und

folgen würde, was natürlich nicht gleich sein kann.

Sind dann also beide teilerfremde ungerade Zahlen, dann kriegt man über die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung sehr schnell raus, dass es ein ganzzahliges mit



geben muss. Für kriegt man da stets ganzzahlige . Bleibt nur noch nachzuweisen, dass es für andere nicht klappt - oder vielleicht doch... Augenzwinkern
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