zufälliger Vektor

30.03.2007, 14:43

kingskid

zufälliger Vektor

Guten Mittag,

was bedeutet es, wenn man einen zufälligen Vektor (X,Y) hat, der auf den vier Punkten
(-2,-1), (-2,1), (2,-1), (2,1)
der reellen Ebene gleichverteilt ist?

irgendwie kann ich mir da nichts drunter vorstellen...
wie kann man daraus, z.B. die Verteilung von X und Y bestimmen..??

01.04.2007, 22:29

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichverteilung ist doch wie beim Würfel oder eine Münze, jede Seite ist gleichwahrscheinlich.

Dein Vektor könnte man sich als zwei Münzen vorstellen, ein 1Euro-Münze(Y) und ein 2 Euro-Münze(X). Setze Kopf:=+ und Zahl:=(-)

02.04.2007, 10:34

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

hm, X nimmt die Werte -2 und 2 an und Y die werte -1,1 beides mit einer wkeit von 1/2 ??
also kann man dann sagen, dass
$\begin{eqnarray*} P(X=1) = P(X=-1) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(Y=2)=P(Y=-2) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ??

aber wie bekomm ich das innere der verteilunstabelle? wenn X,Y unabhängig sind könnt ich ja einfach die marginalverteilungen multiplizieren, aber sind sie unabhängig...??

02.04.2007, 10:38

Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichverteilung heißt hier, was es immer bei diskreter Gleichverteilung heißt:

Jeder der Punkte bekommt dieselbe Wahrscheinlichkeit.

Wir haben hier vier Punkte vorliegen, also bekommt jeder die Wkt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ , in Symbolen:

$\begin{eqnarray*} P(X=-2,Y=-1) = P(X=-2,Y=1) = P(X=2,Y=-1) = P(X=2,Y=1) = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Das daraus nun gerade Unabhängigkeit folgt, liegt an der speziellen Lage der Punkte als "vollständiges" Gitter - bei anderer Punktlage ist das nicht mehr selbstverständlich.

02.04.2007, 11:03

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

danke, d.h. aus der Unabhängigkeit folgt ja dann sowieso, dass
Cov(X,Y) = 0 ?

ist es richtig den erwartungswert formal so zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} E[X]= \sum_{k \in \{-2,2\}} k P(X=k) = -2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ?

und E[3X-4Y]:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i} \sum_{j} (3i-4j) P(X=i, X=j) \end{eqnarray*}$ ?

02.04.2007, 11:14

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Wobei man letzteres bei Kenntnis der Einzelerwartungswerte zweckmäßig eher unter Nutzung der Linearität

$\begin{eqnarray*} E(3X-4Y) = 3\cdot E(X) - 4\cdot E(Y) \end{eqnarray*}$

berechnet.

02.04.2007, 11:23

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt mit linearität gehts noch schneller. dankeschön!

04.04.2007, 22:30

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

hi, hab doch nochmal ne frage dazu, und zwar zur Streuung (das ist doch die Varianz, oder? )

$\begin{eqnarray*} Var(3X-4Y) = E[(3X-4Y)^2] - (E[3X-4Y])^2 \end{eqnarray*}$

hab ich das so nun richtig berechnet:

$\begin{eqnarray*} E[(3X-4Y)^2] = E[9X^2 - 24XY + 16Y^2] = 9 E[X^2] - 24 E[XY] + 16 E[Y^2] = 9\cdot4 - 24 E[X] E[Y] + 16 = 52 \end{eqnarray*}$ ?

nur warum kommt da gerade 52 raus? hab gedacht, der wert soll einem angeben, wie weit nach rechts und links diese verteilung geht...?

oder so:
$\begin{eqnarray*} E[(3X-4Y)^2] = E[(3X-4Y) (3X-4Y)] \end{eqnarray*}$ aber das darf man jetzt ja nicht weiter auseinanderziehen wegen der Abhängigkeit, oder?

Viele Grüße
kingskid

05.04.2007, 09:12

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kingskid
der wert soll einem angeben, wie weit nach rechts und links diese verteilung geht...?

Eine sehr merkwürdige, und überaus falsche Interpretation der Varianz...

Die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} 3X-4Y \end{eqnarray*}$ nimmt Werte zwischen -10 und +10 an, wobei der Erwartungswert 0 ist. Die Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sqrt{52} \approx 7.2 \end{eqnarray*}$ spricht da in keinster Weise dagegen, ich weiß also nicht, wo deine Bauchschmerzen sind - vielleicht einfach nur die "Wurzel" vergessen? verwirrt

05.04.2007, 18:35

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab das in der VL so verstanden, dass der Ewartungswert sozusagen den Mittelwert liefert, aber nichts darüber aussagt wie weit die werte nach rechts und links streuen, dafür könnte man dann aber die varianz berechnen...

was ist denn genau der unterschied zwischen varianz, streuung und standardabweichung...??

05.04.2007, 19:45

Auf diesen Beitrag antworten »

Varianz und Streuung sind synonym, und die Standardabweichung ist die Wurzel davon. Als sofort ersichtliche Groborientierung bei nur endlichem Wertebereich der Zufallsgröße kann allenfalls die Überprüfung von

$\begin{eqnarray*} \max X - \min X \geq 2\cdot \sqrt{\operatorname{var}(X)} \end{eqnarray*}$

dienen, und das ist hier ja erfüllt.

05.04.2007, 20:52

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

dankeschön für die erklärung und die abschätzungsformel, das ist gut zu wissen smile

Neue Frage »

Antworten »

zufälliger Vektor

Verwandte Themen