Differentialgleichung und die allgemeine Lösung

30.03.2007, 15:11

mazeli

Differentialgleichung und die allgemeine Lösung

Hallihallo

Ich sitz hier grad vor meinen Matheaufschrieben und versuch einige Dinge nachzuvollziehen.

Da bin ich dann auf dieses Beispiel gestoßen.

$\begin{eqnarray*} y^{2} (y'^{2} + 1) - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

So mein Versuch war jetzt erstmal die Klammer aufzulösen und das y' durch

dy / dx zu ersetzen, somit kam ich auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} y^{2} dy^{2} + y^{2} = dx^{2} \end{eqnarray*}$

jetzt weiß ich nichtmehr weiter

Normal würde ich ja nun integrieren um auf die allgemeine Lösung zu kommen aber ich steh hier voll auf dem schlauch.

Die allgemeine Lösung lautet nach schrieb (hab leider nur die Lösung und keine Rechenschritte)

$\begin{eqnarray*} (x - C)^{2} + y^{2} = 1 \end{eqnarray*}$

Würde mich sehr freuen wenn mir jemand einen kleinen Tipp geben könnte :-)

30.03.2007, 15:47

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Da in der DGL jegliches $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ fehlt, lässt sie sich natürlich durch Trennung der Variablen lösen, d.h. nach wenigen Umformungen erhält man

$\begin{eqnarray*} \pm \frac{y\cdot y'}{\sqrt{1-y^2}} = 1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von mazeli
somit kam ich auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} y^{2} dy^{2} + y^{2} = dx^{2} \end{eqnarray*}$

Wenn schon, dann

$\begin{eqnarray*} y^2 \dd y^2 = (1-y^2) ~ \dd x^2 \end{eqnarray*}$ .

Summanden mal mit, mal ohne Differential ist ziemlicher Unsinn!

30.03.2007, 16:03

mazeli

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Ist es dann richtig wenn ich es so umforme?

$\begin{eqnarray*} \int~y(1-y^{2})^{-\frac{1}{2} }dy = \int~dx \end{eqnarray*}$

30.03.2007, 17:34

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In der Plus-Variante: Ja.

31.03.2007, 11:17

mazeli

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Ok Danke.

Hab hier noch ein kleines Problem:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{dy}{(1-y)} = \int~2xdx \end{eqnarray*}$

laut unserem Prof gibt das Integriert folgendes:

$\begin{eqnarray*} -ln\mid 1 - y \mid = x^{2} - ln\mid C \mid \end{eqnarray*}$

Hab das auch so hinbekommen, aber warum wird die Konstante subtrahiert? normal addiert man die doch immer oder? oder ist das egal?

Weil wenn ich die addiere kommt ein völlig anderes Ergebnis zustande.??

31.03.2007, 12:31

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Das ist Wurst: Statt $\begin{eqnarray*} x^2 -\ ln|C| \end{eqnarray*}$ schreibt man naheliegenderweise ja eigentlich erstmal $\begin{eqnarray*} x^2 + C_2 \end{eqnarray*}$ . In Hinblick auf die spätere Lösungsdarstellung hat der Prof eben diese zunächst merkwürdig anmutendende Variante gewählt. smile

Es funktionieren aber beide Varianten.

31.03.2007, 15:01

mazeli

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Müsste man dann nicht bei jeder Integralrechnung ne Fallunterscheidung machen? denn man weiß ja nicht ob es ne positive oder mal ne negative Konstante ist. Und je nach Vorzeichen kommen ja unterschiedliche Lösungen raus oder nicht?

31.03.2007, 17:30

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Ok, ganz ausführlich: Ausgehend von

$\begin{eqnarray*} -\ln|1-y| = x^2 + C_2 \end{eqnarray*}$

erhält man $\begin{eqnarray*} |y-1| = e^{-x^2-C_2} \end{eqnarray*}$ und nach Betragsauflösung die beiden Lösungsscharen

$\begin{eqnarray*} y = 1+e^{-C_2}\cdot e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} y = 1-e^{-C_2}\cdot e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ .

Da bei Durchlaufen von $\begin{eqnarray*} C_2\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ die Werte $\begin{eqnarray*} e^{-C_2} \end{eqnarray*}$ alle positiven und $\begin{eqnarray*} -e^{-C_2} \end{eqnarray*}$ alle negativen reellen Zahlen durchläuft, kann man auch gleich

$\begin{eqnarray*} y = 1+C\cdot e^{-x^2} \end{eqnarray*}$

mit beliebigen reellen $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ schreiben. Der Fall $\begin{eqnarray*} C=0 \end{eqnarray*}$ verdient natürlich nochmal besondere Beachtung, denn der ergibt ebenfalls eine DGL-Lösung, die uns zwischendurch mal durch die Lappen gerutscht war. Augenzwinkern

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