Stetige Abbildungen

30.03.2007, 21:40

Bookworm

Stetige Abbildungen

Hallo und schönen Abend!

Ich stecke gerade an einer Aufgabe fest und hoffe ihr könnt mir irgendwie weiterhelfen.

Seien X, Y, Z topologische Räume.

a) $\begin{eqnarray*} f : X \to Y \end{eqnarray*}$ stetig, $\begin{eqnarray*} X_{0} \subset X, Y_{0} \in Y \end{eqnarray*}$ Unterräume mit $\begin{eqnarray*} f(X_{0}) \subset Y_{0} \Rightarrow f\vert _{X_{0}} : X_{0} \to Y_{0} \end{eqnarray*}$ stetig

b) $\begin{eqnarray*} f = (f_{1}, f_{2}) : Z \to X \times Y stetig \Leftrightarrow f_{1} : Z \to X \text{und} f_{2}: Z \to Y \end{eqnarray*}$ stetig

c) $\begin{eqnarray*} f: X + Y \to Z stetig \Leftrightarrow f\vert _{X} : X \to Z \text{und} f\vert_{ Y} : Y \to Z \end{eqnarray*}$ stetig

Zu Teilaufgabe a) habe ich folgenden Beweis-"Versuch" (bei b und c weiß ich einfach nicht wie ich das zeigen soll)

Sei $\begin{eqnarray*} f : X \to Y \end{eqnarray*}$ stetig, $\begin{eqnarray*} X_{0} \subset X, Y_{0} \in Y \end{eqnarray*}$ Unterräume mit $\begin{eqnarray*} f(X_{0}) \subset Y_{0} \end{eqnarray*}$

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \forall U \subset Y_{0} \text{offen ist} f^{-1}(U) \subset X_{0} \end{eqnarray*}$ offen.

f stetig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall W \subset Y \text{offen ist} f^{-1} (W) \subset X \end{eqnarray*}$ offen.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall U \subset Y_{0} \subset Y \text{offen ist} f^{-1} (U) \subset X \end{eqnarray*}$ offen.

Nach Definition gilt: $\begin{eqnarray*} f^{-1} (U) = \{ x \in X_{0} \vert f(x) \in U \} \subset X_{0} \end{eqnarray*}$
Daraus ergibt sich die Behauptung.

Ich würde mich freuen, wenn ihr mir helfen könntet. Vielen Dank.

30.03.2007, 21:49

WebFritzi

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Dein Beweis ist nicht OK so, denn du verschweigst etwas (bzw. weißt etwas nicht?). Wann ist eine Menge U c Y_0 offen (in Y_0)?

30.03.2007, 21:58

Bookworm

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Eine Menge $\begin{eqnarray*} U \subset Y_{0} \end{eqnarray*}$ ist offen in $\begin{eqnarray*} Y_{0} \Leftrightarrow \forall x \in U \exists B_{\epsilon} (x) \subset U \end{eqnarray*}$ oder?

Ich weiß allerdings nicht auf was du hinaus willst ?

30.03.2007, 22:04

WebFritzi

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Ja, das stimmt auch. Oder anders (auf dein Problem angepasst): Eine Menge $\begin{eqnarray*} U_0\subset Y_0 \end{eqnarray*}$ heißt offen, wenn es eine offene Menge $\begin{eqnarray*} U\subset Y \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} U_0 = U\cap Y_0. \end{eqnarray*}$

30.03.2007, 22:24

Bookworm

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Ich versteh aber nicht wie mir das weiterhelfen sollte. Wo steckt eigentlich der Fehler im "Beweis"?

30.03.2007, 22:45

WebFritzi

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RE: Stetige Abbildungen

Zitat:

Original von Bookworm
Nach Definition gilt: $\begin{eqnarray*} f^{-1} (U) = \{ x \in X_{0} \vert f(x) \in U \} \end{eqnarray*}$

Da liegt er. Es gilt

$\begin{eqnarray*} f^{-1} (U) = \{ x \in X \vert f(x) \in U \} \end{eqnarray*}$

aber

$\begin{eqnarray*} (f|X_0)^{-1} (U) = \{ x \in X_0 \vert f(x) \in U \}. \end{eqnarray*}$

Und wenn U offen in Y_0 ist, dann ist U noch lange nicht in Y offen, also auch nicht $\begin{eqnarray*} f^{-1}(U) \end{eqnarray*}$ in X offen. Fang so an:

Sei $\begin{eqnarray*} U_0\subset Y_0 \end{eqnarray*}$ offen in $\begin{eqnarray*} Y_0. \end{eqnarray*}$ Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} U\subset Y \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} U_0 = U\cap Y_0. \end{eqnarray*}$ Nun gilt

$\begin{eqnarray*} (f|X_0)^{-1}(U_0) = (f|X_0)^{-1}(U\cap Y_0). \end{eqnarray*}$

Zeige nun, dass letzteres gleich $\begin{eqnarray*} f^{-1}(U)\cap X_0 \end{eqnarray*}$ ist und begründe damit, dass $\begin{eqnarray*} (f|X_0)^{-1}(U_0) \end{eqnarray*}$ offen ist in $\begin{eqnarray*} X_0. \end{eqnarray*}$

30.03.2007, 23:54

Bookworm

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ok, hier das ganze nochmal (habe zwei Dinge nicht zeigen können):

Sei $\begin{eqnarray*} U_{0} \subset Y_{0} \end{eqnarray*}$ offen in $\begin{eqnarray*} Y_{0} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists U \subset Y \text{offen} : U_{0} = U \cap Y_{0} \end{eqnarray*}$

Es gilt: $\begin{eqnarray*} f^{-1}\vert_{X_{0}} ( U_{0} ) = f^{-1}\vert_{X_{0}} ( U \cap Y_{0} ) = f^{-1}\vert_{X_{0}} ( U ) \cap f^{-1}\vert_{X_{0}} ( Y_{0} ) \end{eqnarray*}$

Außerdem gilt:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}\vert_{X_{0}} ( Y_{0} ) = X_{0} \end{eqnarray*}$ .

Ok, jetzt müsste ich irgendwie zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} f^{-1}\vert_{X_{0}} ( U ) = f^{-1} ( U ) \end{eqnarray*}$ gilt, leider weiß ich nicht wie.

Damit würde sich ergeben: $\begin{eqnarray*} f^{-1}\vert_{X_{0}} ( U_{0} ) = f^{-1} ( U ) \cap X_{0} \end{eqnarray*}$

klar: $\begin{eqnarray*} X_{0}\text{ist offen in} X_{0} \end{eqnarray*}$

weiter muss man noch zeigen, dass: $\begin{eqnarray*} f^{-1} ( U ) \text{offen in} X_{0} \end{eqnarray*}$ .
Ok, hier weiß ich nur, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1} ( U ) \text{offen in} X \end{eqnarray*}$ (aufgrund der Stetigkeit von f)

Da beide Mengen offen sind und die Vereinigung endlich vieler Mengen wieder offen ist => Beh.

31.03.2007, 01:20

WebFritzi

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Also erstmal: Bitte schreib

$\begin{eqnarray*} (f|X_0)^{-1} \end{eqnarray*}$

und nicht

$\begin{eqnarray*} f^{-1}|X_0. \end{eqnarray*}$

Das ist nämlich falsch. Ich schreib das nicht umsonst richtig. Übrigens macht $\begin{eqnarray*} f^{-1}|X_0 \end{eqnarray*}$ auch gar keinen Sinn.

Zitat:

Original von Bookworm
Ok, jetzt müsste ich irgendwie zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} f^{-1}\vert_{X_{0}} ( U ) = f^{-1} ( U ) \end{eqnarray*}$ gilt, leider weiß ich nicht wie.

Tja, wie zeigt man denn nochmal, dass zwei Mengen gleich sind? Haben wir das nicht ganz zu Beginn des Studiums gelernt? Lehrer

31.03.2007, 12:38

Bookworm

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Zunächst einmal vielen Dank für deine bisherige Hilfe und sorry für meine ungeschickt gewählte Notation Hammer

Ich müsste von folgendem die Gleichheit zeigen:

$\begin{eqnarray*} (f|X_{0})^{-1} (U) = \{ x \in X_{0} \vert f(x) \in U \} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} (f^{-1} (U) = \{ x \in X \vert f(x) \in U \} \end{eqnarray*}$

Aber ich sehe die Gleichheit nicht: denn bei der ersten Menge sind ja nur x aus X0 zulässig und bei der anderen alle x (die natürlich die gewünschte Eigenschaft erfüllen).

Ich sehe also nur, dass $\begin{eqnarray*} (f|X_{0})^{-1} \subset f^{-1} (U) \end{eqnarray*}$

Es bleibt die andere Inklusion zu zeigen. Ich würde sagen, dass geht nur falls $\begin{eqnarray*} f(x) \in U \Leftrightarrow x \in X_{0} \end{eqnarray*}$ . Dafür fehlt mir jedoch eine Begründung.

01.04.2007, 14:04

Abakus

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Vielleicht hilft folgendes weiter:

$\begin{eqnarray*} (f|_{X_0})^{-1}(U \cap Y_0) = f^{-1}(U \cap Y_0) \cap X_0 \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

EDIT: Text

01.04.2007, 14:39

Bookworm

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danke, ich denke das hilft weiter smile

$\begin{eqnarray*} (f|_{X_0})^{-1}(U \cap Y_0) = f^{-1}(U \cap Y_0) \cap X_0 = f^{-1} (U ) \cap f^{-1}(Y_{0}) \cap X_{0} = f^{-1} (U) \cap X_{0} \end{eqnarray*}$

Beim letzten Schritt wurde ausgenutzt, dass: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(Y_{0}) \subset X \end{eqnarray*}$

ok, dann bleibt nur noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1} ( U ) \text{offen in} X_{0} \end{eqnarray*}$ .

und wie gesagt weiß ich nur, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1} ( U ) \text{offen in} X \end{eqnarray*}$ (aufgrund der Stetigkeit von f), wie zeigt man aber dass es offen in X0 ist ???

01.04.2007, 18:21

Abakus

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Zitat:

Original von Bookworm
$\begin{eqnarray*} (f|_{X_0})^{-1}(U \cap Y_0) = f^{-1}(U \cap Y_0) \cap X_0 = f^{-1} (U ) \cap f^{-1}(Y_{0}) \cap X_{0} = f^{-1} (U) \cap X_{0} \end{eqnarray*}$

Beim letzten Schritt wurde ausgenutzt, dass: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(Y_{0}) \subset X \end{eqnarray*}$

ok, dann bleibt nur noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1} ( U ) \text{offen in} X_{0} \end{eqnarray*}$ .

und wie gesagt weiß ich nur, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1} ( U ) \text{offen in} X \end{eqnarray*}$ (aufgrund der Stetigkeit von f), wie zeigt man aber dass es offen in X0 ist ???

Also: $\begin{eqnarray*} f^{-1} (U) \end{eqnarray*}$ ist offen in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f^{-1} (U) \cap X_{0} \end{eqnarray*}$ offen im Raum $\begin{eqnarray*} X_0 \end{eqnarray*}$ nach Konstruktion der Spurtopologie.

Bei deinem letzten Gleichheitszeichen in der ersten Zeile nutzt du ansonsten aus: $\begin{eqnarray*} X_0 \subseteq f^{-1}(Y_{0}) \end{eqnarray*}$ .

Grüße Abakus smile

EDIT: Text

01.04.2007, 21:05

WebFritzi

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Zitat:

Original von Bookworm
ok, dann bleibt nur noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1} ( U ) \text{offen in} X_{0} \end{eqnarray*}$ .

Quatsch. Wie kommst du darauf? $\begin{eqnarray*} f^{-1} (U) \end{eqnarray*}$ muss doch nicht mal eine Teilmenge von X_0 sein.

Zitat:

Original von Abakus
Also: $\begin{eqnarray*} f^{-1} (U) \end{eqnarray*}$ ist offen in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f^{-1} (U) \cap X_{0} \end{eqnarray*}$ offen im Raum $\begin{eqnarray*} X_0 \end{eqnarray*}$ nach Konstruktion der Spurtopologie.

Genau. Und das war's dann auch.

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