b² + b = 6, wie rechnerisch lösen?

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b² + b = 6, wie rechnerisch lösen?
Hallo!

Brauche einen weisen Ratschlag!

Wie löse ich Gleichungen der Art:







1. kann man auch so schreiben: .

(auch wenn ich jetzt den falschen Ansatz verwende): Eine Multiplikation ist ja eine Form der Addition, also für b=2:

Aber verallgemeinern kann ich das jetzt nicht unglücklich

Gruß
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

1) und 2) mit der Mitternachtsformel/pq-Formel/quadratische Ergänzung
3) Nullstelle erraten, Polynomdivision
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Zitat:
Original von therisen
1) und 2) mit der Mitternachtsformel/pq-Formel/quadratische Ergänzung
3) Nullstelle erraten, Polynomdivision


Gut, dann weiß ich bescheid Freude
Für 3) ist es aber schon blöd, wenn man zuerst raten muss.
Gibts da auch kein aufwändiges Verfahren zum Ausrechnen von der Variablen?

Gruß
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, es gibt ein Verfahren, aber glaube mir, das möchtest du besser nicht wissen Augenzwinkern

Beim Raten probiert man immer nur einen Teiler des konstanten Gliedes aus. Hier ist es einfach: -1 hat nur die Teiler 1 und -1....
grybl Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du beim dritten nicht raten willst, kannst du folgenden "Trick" anwenden



ausklammern



nochmals ausklammern



und ein Produkt ist dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist

passt besser zu Algebra => verschoben smile
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Zitat:
Original von therisen
Doch, es gibt ein Verfahren, aber glaube mir, das möchtest du besser nicht wissen Augenzwinkern

Beim Raten probiert man immer nur einen Teiler des konstanten Gliedes aus. Hier ist es einfach: -1 hat nur die Teiler 1 und -1....


Wie heißt denn dieses gesonderte Verfahren?
Danke für deinen Teiler-Tipp smile

Zitat:
Original von grybl
wenn du beim dritten nicht raten willst, kannst du folgenden "Trick" anwenden



ausklammern



nochmals ausklammern



und ein Produkt ist dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist

passt besser zu Algebra => verschoben smile


Du hast aus der Summe ein Produkt gebildet, dass gleich 0 ist. Klasse Idee!

Aber dieser Weg klappt hier leider nicht, wie es mir scheint:


Oder kann man hierbei auch clever an b rankommen? (Sonst gehe ich hier nach therisens Tipp -> Teiler der Konstante 9 ist 1 und 9...)

Gruß
 
 
sqrt4 Auf diesen Beitrag antworten »

Das gesonderte Verfahren:
Cardanische Formeln
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Zitat:
Original von sqrt4
Das gesonderte Verfahren:
Cardanische Formeln


Danke habe auch gleich noch einen Verweis gefunden!

http://www.mathematik.ch/anwendungenmath...rmelCardano.php
grybl Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber dieser Weg klappt hier leider nicht, wie es mir scheint:


ja, leider unglücklich

geht nur bei symmetrischen Gleichungen
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Zitat:
Original von grybl
Zitat:
Aber dieser Weg klappt hier leider nicht, wie es mir scheint:


ja, leider unglücklich

geht nur bei symmetrischen Gleichungen


Aha, gut.

Was sind denn symmetrische Gleichungen?

Habe das hier dazu gefunden: Symmetrische Gleichungen:
die Koeffizienten ergeben ein symmetrisches Bild. Mit jeder Lösung ist auch ihr Kehrwert eine Lösung. Ist der Grad daher ungerade, so ist +1 oder –1 Lösung.


Weißt du, was ein symmetrisches Bild ist?

Gruß
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zwar konnte ich keine allgemeine Definition finden, aber ich glaube man kann es wie folgt formulieren:

Sei . Dann heißt symmetrisch, falls für alle (da "=" selbst symmetrisch ist braucht man aber nicht alle i probieren). Insbesondere kann man das Polynom "vorwärts wie rückwärts" lesen (mit etwas Phantasie Augenzwinkern ).

Konkret bedeutet das für Polynome dritten und vierten Grades die Gleichungen:



Für symmetrische Gleichungen mit gerader Ordnung reduziert die Substitution die Ordnung um die Hälfte. Ist die Ordnung ungerade, so kann man den Linearfaktor abspalten und sodann die obige Substitution durchführen.


Gruß, therisen
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Zitat:
Original von therisen
Sei . Dann heißt symmetrisch, falls für alle (da "=" selbst symmetrisch ist braucht man aber nicht alle i probieren). Insbesondere kann man das Polynom "vorwärts wie rückwärts" lesen (mit etwas Phantasie Augenzwinkern ).

Konkret bedeutet das für Polynome dritten und vierten Grades die Gleichungen:




Hallo!

Klasse Erklärung! Davon denke ich, die Essenz verstanden zu haben , ( ).
Falls es dir nichts ausmacht, einem Matheunbeholfenen noch ein paar Fragen dazu zu beantworteten, würde ich mich sehr darüber freuen:

Frage 1)



Was bedeutet das - K[X]? Hat das etwas mit Matrizen zu tun?

Frage 2) Falls man das Polynom "vorwärts wie rückwärts" lesen kann, also im Prinzip ja , kann man dann mit Bestimmtheit sagen, es handle sich um eine symmetrische Gleichung - oder gibt es Ausnahmen (vielleicht auch durch obige Menge K[X] gegeben, die ich nocht nicht verstehen kann)?

Zitat:
Original von therisen


Für symmetrische Gleichungen mit gerader Ordnung reduziert die Substitution die Ordnung um die Hälfte. Ist die Ordnung ungerade, so kann man den Linearfaktor abspalten und sodann die obige Substitution durchführen.


Frage 3) Ich würde das gerne einmal selbst rechnen, könntest du mir eine Beispielaufgabe aufstellen, insbesondere, um die Substitution zu erlernen?
Für die ungerade Ordnung müsste das hier ja schon ein Beispiel gewesen sein (scheinbar nur ein anderer Linearfaktor):

Zitat:
Original von grybl
wenn du beim dritten nicht raten willst, kannst du folgenden "Trick" anwenden



ausklammern



nochmals ausklammern



Gruß
grybl Auf diesen Beitrag antworten »

darf ich auch ein Beispiel stellen? Augenzwinkern

Löse:



therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von w³
Frage 1)



Was bedeutet das - K[X]? Hat das etwas mit Matrizen zu tun?


Es handelt sich hierbei um einen Hauptidealring. Das brauchst du nicht wirklich zu verstehen und ist auch nicht weiter wichtig. Die reellen Zahlen bilden z.B. einen sogenannten Körper. Für die Substitution ist es nämlich wichtig, dass inverse Elemente stets existieren ( insbesondere).

Zitat:
Original von w³
Frage 2) Falls man das Polynom "vorwärts wie rückwärts" lesen kann, also im Prinzip ja , kann man dann mit Bestimmtheit sagen, es handle sich um eine symmetrische Gleichung - oder gibt es Ausnahmen (vielleicht auch durch obige Menge K[X] gegeben, die ich nocht nicht verstehen kann)?


Nein, Ausnahmen gibt es keine.

Zitat:
Original von w³
Frage 3) Ich würde das gerne einmal selbst rechnen, könntest du mir eine Beispielaufgabe aufstellen, insbesondere, um die Substitution zu erlernen?


Habe mal eben auf Vorschau geklickt - zwei Beispiele hat dir grybl schon gegeben Augenzwinkern
Es gibt auch eine klassische Aufgabe aus der Geometrie (die "Leiter-Aufgabe"), die auf eine symmetrische Gleichung 4. Grades führt.


Gruß, therisen
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Zitat:
Original von grybl
darf ich auch ein Beispiel stellen? Augenzwinkern


Ja gerne, das erste und folgende habe ich schon gelöst. Danke dafür smile
Es steht hier mit Lösungsweg, weil ich gerne noch auf ein Tipps/Verbesserungsvorschläge warte für die Lösung, die ich bei meinem nächsten Beispiel einer solchen Aufgabe berücksichtigen könnte. smile

Aufgabe 1:



Koeffizient (6) von entfernen:



Durch x² teilen:
Warum darf man hier durch eine Variable teilen!? Denke, das ist verboten.





Substitution mit



Quadratische Ergänzung (p/q-Formel kenne ich) mit , hier habe ich einige Zwischenschritte weggelassen:



Wurzel ziehen ():




Das Ergebnis für u für x gültig machen:









Habe hier eine allgemeine Lösungsaleitung gefunden:
http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch...viertergrad.pdf

Dazu ein kurzer Auszug als Anhang, den ihr mir vielleicht auch noch erklären, wie die auf die rot markierten Gleichungen da kommen? Vielleicht gibt es einen Weg, solche Aufgaben schneller/effizienter zu lösen, als ich es oben getan habe?


Grüße
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Nach Definition ist
Nachdem man den erhaltenen -Wert eingesetzt hat, multipliziert man mit durch und brint alles auf eine Seite erhält man eine Quadratische Gleichung in .
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Zitat:
Original von Lazarus
Nach Definition ist
Nachdem man den erhaltenen -Wert eingesetzt hat, multipliziert man mit durch und brint alles auf eine Seite erhält man eine Quadratische Gleichung in .


Super! Damit kann ich die Aufgabe schneller lösen und verstehe die Erklärung des Anhangs!Danke!

Zitat:
Original von therisen
Zitat:
Original von w³
Frage 1)



Was bedeutet das - K[X]? Hat das etwas mit Matrizen zu tun?


Es handelt sich hierbei um einen Hauptidealring. Das brauchst du nicht wirklich zu verstehen und ist auch nicht weiter wichtig. Die reellen Zahlen bilden z.B. einen sogenannten Körper. Für die Substitution ist es nämlich wichtig, dass inverse Elemente stets existieren ( insbesondere).


Ah deine letzte Aussage davon leuchtet mir jetzt auch ein Augenzwinkern Danke ebenfalls!
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