Integration mithilfe der Substitution

02.04.2007, 17:56

LadYstAR

Integration mithilfe der Substitution

Heyyy Jungs und auch Mädels, bin zum ersten Mal hier und begrüß deshalb erst mal alle :P Willkommen

ES geht, wie die Überschrift schon zeigt, um die Integration durch das Substituieren.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2x+1}{\sqrt{1+3x}} \end{eqnarray*}$

Aus der folgenden Funktion soll also nun die Stammfunktion gebildet werden. Bei meinen Versuchen kam ich nie auf das richtige Ergebnis von
$\begin{eqnarray*} F(x)=\sqrt{1+3x}(6x+5)\cdot\frac{3}{27} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe jemand gaaaaanz Liebes kann mir helfen ;D dank schon mal im Voraus !!!!!
liebe grüße eure Ladystar

02.04.2007, 18:05

Lazarus

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Erstmal

und

!

Deine Lösung ist falsch aber evtl. nur ein Schreibfehler: der Faktor muss 2/27 sein
Versuch doch mal die Substitution $\begin{eqnarray*} 1+3x = z^2 \end{eqnarray*}$

02.04.2007, 18:08

LadYstAR

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Du verstehst mich, glaube ich, falsch! Die Lösung der Aufgabe ist schon angegeben, aber ich komm nicht auf die Big Laugh

Oder ist die angebene Lösung etwa falsch? :P

02.04.2007, 18:11

therisen

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Nein, die angegebene Lösung ist falsch. Lazarus hat Recht Augenzwinkern

02.04.2007, 18:11

Lazarus

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Ich glaube nur dass du dich beim Abschreiben der Lösung vertippt hast, denn den Faktor 3/27 könnte man ja kürzen und richtiger weise müsste es 2/27 heissen.

Nun zum Verfahren: Das blöde ist ja das wir eine Wurzel haben. Diese wollen wir wegbekommen. Und da hilft uns die oben angegebenen Substitution weiter.

Probierst du die mal aus ?

02.04.2007, 18:17

LadYstAR

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Jaa, sry, stimmt! Natürlich ist es $\begin{eqnarray*} \frac{2}{27} \end{eqnarray*}$

Das liegt daran, dass ich zum ersten Mal mit dem Formeleditor arbeite, noch recht umständlich weisste Big Laugh

Also, ich konnte die anderen Aufgaben hier recht locker lösen, das Problem hier ist jedoch, wenn ich t = $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+3x} \end{eqnarray*}$ setze, dann bleibt ja oben noch das x bei 2x, da sich dieses ja durch die Ableitung über $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx} \end{eqnarray*}$ wegkürzen lässt unglücklich

02.04.2007, 18:19

Lazarus

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ja ist ja kein problem, ich finds gut das du es trotzdem versuchst mit dem Formeleditor! Freude

Zum Thema: Ähm ich versteh dich nicht ganz.
Wo ist denn dein Problem wenn du das eingesetzt hast ?!
Zeig doch mal was du raus hast, nach der substitution.

02.04.2007, 18:27

LadYstAR

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OK, ich versuchs hier mal schnell aufzuschreiben:P

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+3x}=t -> 1+3x=t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{t^2-1}{3} \end{eqnarray*}$
Dieses x muss ich doch dann für das 2x einsetzen,oder nicht?

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
und die 1/3 kann man doch vor die GLeichung ziehen,oder?

02.04.2007, 18:33

ich bin smile

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Das geht etwas anders:

Du hast Wurzelaus(1+3x)=t

Daraus machst du 1+3x=t²

Jetzt ableiten dx*(...)=dt*(...)

Verstehst du wie es weitergeht?

02.04.2007, 18:37

Lazarus

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Ich schreibs dir mal ein bisschen Strukturiter auf:

$\begin{eqnarray*} t&=&\sqrt{1+3x}\\x&=&\frac{t^2-1}{3} \end{eqnarray*}$

Die erste Gleichung nach x ableiten erhält man das dx und das dt welches man dann einsetzten kann, dabei fliegt die Wurzel raus.

02.04.2007, 18:40

LadYstAR

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Ja, das hatte ich ja auch oben schon :/
Meine Frage ist ja nun, was setze ich dann genau für das x bei 2x ein....

Ich hatte vorher : $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}dt = dx \end{eqnarray*}$

NUN, das... dt = $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}\sqrt{1+3x} \end{eqnarray*}$ ,oder was?

Jetzt bin ich verwirrt Big Laugh

02.04.2007, 18:42

Lazarus

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ok lass dir zeit Big Laugh

02.04.2007, 18:57

LadYstAR

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Ja sonst kommste einfach ICQ, da gehts sicher schneller ;D

02.04.2007, 19:00

Lazarus

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ICQ hat den Nachteil das es keinen so schönen Formeleditor gibt. Also würde ich hier bevorzugen.

02.04.2007, 19:01

LadYstAR

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Guck mal, was ich oben geschrieben hab du ;D

02.04.2007, 19:03

Lazarus

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Sorry hab ned gesehn.

Also schreiben wirs mal so:
$\begin{eqnarray*} t(x)&=&\sqrt{1+3x} \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich $\begin{eqnarray*} t'(x)= ? \end{eqnarray*}$
Mit der Leibnizschen darstellung $\begin{eqnarray*} t'(x)=\frac{\dd t}{\dd x} \end{eqnarray*}$ kommst evtl. drauf.

02.04.2007, 19:08

LadYstAR

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OK, $\begin{eqnarray*} t'(x) = \frac{3}{2} \sqrt{1+3x} \end{eqnarray*}$

EDIT von Calvin
Bitte nicht ` sondern ' für den Ableitungsstrich verwenden

02.04.2007, 19:31

LadYstAR

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hmm, wenn ich das nach dt auflöse: $\begin{eqnarray*} dx=\frac{2}{3\sqrt{1+3x}}dt \end{eqnarray*}$ ?????

02.04.2007, 19:33

ich bin smile

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Ne, nicht ganz!

Hier hast du Wurzel, für die du Kettenregel und Potenzregel gebrauchen musst. Lehrer

$\begin{eqnarray*} t(x)=\sqrt{1+3x} = (1+3x)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Tipp: $\begin{eqnarray*} x^{-n} = \frac{1}{x^{n}} \end{eqnarray*}$

02.04.2007, 19:33

Lazarus

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ganz genau.
Das musst du fürs dx einsetzten und $\begin{eqnarray*} x&=&\frac{t^2-1}{3} \end{eqnarray*}$ für das x im Zähler.

02.04.2007, 19:34

LadYstAR

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danke

, jetzt versuch ich mal den Scheiss aufzulösen!

02.04.2007, 19:35

Lazarus

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Das ganz genau ging an "ich bin smile"!
Du musst das noch richtig machen.

02.04.2007, 19:41

LadYstAR

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Jaa, geht an euch beide! Ist mit klar, dass die Wurzel dann im Nenner ist, da $\begin{eqnarray*} x^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ Big Laugh

02.04.2007, 19:49

LadYstAR

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aber ey, für das $\begin{eqnarray*} dx=\frac{2\sqrt{1+3x}}{3}dt \end{eqnarray*}$ ist ja immer noch ein x drin. Dann für das x auch den gleichen Wert wie im Zähler einsetzen??? Grrrr, diese Scheissaufgabe Big Laugh

02.04.2007, 20:03

LadYstAR

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Jetzt sind se wech :/ Shit...

02.04.2007, 20:09

ich bin smile

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Zitat:

Jetzt sind se wech :/ Shit...

Nich ganz! Augenzwinkern

Du hast normalerweise Recht, aber wenn du das dann in das Integral einsetzt, kürzt sich das weg!

Dadurch hast du dann was ganz einfaches zu integrieren und dann wieder Rücksubstitution!

Im Endeffekt hat sich der Aufwand gelohnt, kapiert? Augenzwinkern

P.S.: Umgangston!! böse

02.04.2007, 20:18

LadYstAR

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sry, also

Aber was kürzt sich da bitte weg? unglücklich

Das x ist doch ganz alleine...

02.04.2007, 20:45

ich bin smile

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Na, wenn du das in das Integral am Anfang einsezst!

Du hast dich doch beschwert, dass da die Wurzel ist...

Na durch die Substitution kürzt sie sich weg!

02.04.2007, 23:45

Lazarus

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Ist ja sonst nicht meine Art, aber hier seh ich einfach keine andere Möglichkeit als das zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} t&=&\sqrt{1+3x} \\x&=&\frac{t^2-1}{3} \\\dd x&=&\frac{2\sqrt{1+3x}}{3}\dd t \end{eqnarray*}$

Und das setzen wir jetzt alles ins Integral ein.
$\begin{eqnarray*} \int~\frac{2x+1}{\sqrt{1+3x}}~\dd x=\int~\frac{2\overbrace{x}^{=\frac{t^2-1}{3}}+1}{\sqrt{1+3x}}~\underbrace{\dd x}_{\frac{2\sqrt{1+3x}}{3}\dd t}=\int~\frac{2\cdot\left[\frac{t^2-1}{3}\right]+1}{\sqrt{1+3x}}~\cdot\frac{2\sqrt{1+3x}}{3} ~\dd t \end{eqnarray*}$

Und das wirste doch jetzt wohl sehen ?!

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