Schnittpunkt mittels Newtonverfahren!?!

11.11.2004, 13:44	Mathe-Idiot	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkt mittels Newtonverfahren!?! Hallo, Hat einer ne Ahnung wie die Schnittpunkte mittels Newtonverfahren zu lösen ist für diese Funktionen: f(x)=ln(Wurzel x) g(x)=4e ^ -0.3x Danke!
11.11.2004, 13:58	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkt mittels Newtonverfahren!?! dann schreib doch mal, wie das Newtonverfahren definiert ist und wo es dann klemmt!
11.11.2004, 13:59	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Newtonverfahren ist eine sog. Fixpunktiteration. Es gehort dieser Forschrift: $\begin{eqnarray} x^{(k+1)} = x^{(k)} - \frac{\varphi\big( x^{(k)}\big)}{\varphi' \big( x^{(k)}\big)}, \qquad k = 0,1,2,\ldots \end{eqnarray}$ Das Newtonverfahren berechnet immer Nullstellen einer Funktion (wenn es nicht divergiert). Einen Schnittpunkt berechnet man durch Gleichsetzen: $\begin{eqnarray} \log(\sqrt{x}) = 4e^{-0.3x} \end{eqnarray}$ Ich kan aber einen Term auf die andere Seite bringen: $\begin{eqnarray} \log(\sqrt{x}) -4e^{-0.3x} = 0 \end{eqnarray}$ Die Lösung für diese Nullstellenberechnung ist natürlich gleich, aber jetzt lässt sich das Newtonverfahren anwenden. Setze also $\begin{eqnarray} \varphi(x) := \log(\sqrt{x}) -4e^{-0.3x} \end{eqnarray}$ , bilde die erste Ableitung $\begin{eqnarray} \varphi'(x) \end{eqnarray}$ und wähle einen Startpunkt $\begin{eqnarray} x^{(0)} \end{eqnarray}$ . Setze nun diesen Startpunkt in die Newtoniteration ein, dann erhälst du $\begin{eqnarray} x^{(1)} \end{eqnarray}$ . Dies ist ein besserer Wert in dem Sinne, dass er der Nullstelle der Funktion besser angenähert ist. (Es gibt hierfür noch ein paar Bedinungen, wie z.B. den Banach'schen Fixpunktsatz - aber das will ich hier mal ausblenden.) Man kann die Iteration beliebig oft wiederholen. So setzt du dann $\begin{eqnarray} x^{(1)} \end{eqnarray}$ ein und bekommst $\begin{eqnarray} x^{(2)} \end{eqnarray}$ usw.

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