neunstellige binaerzahlen

11.11.2004, 14:20

@ngel

neunstellige binaerzahlen

ein grosses hallo an alle mathe-cracks!!!!

in meiner letzten matheprüfung war die die folgende aufgabe:

wieviele 9stellige binaerzahlen gibt es?

wie komme ich auf die lösung? ich dachte zuerst, dass es etwas mit "achterpotenzen" ist.... eine 1 und 8 nullen gibt eine möglichkeit also 8 hoch null, zwei 1en und 7 nullen gibt acht möglichkeiten also 8 hoch 1.....
scheint aber nicht der fall zu sein, da meine lösung falsch ist!!

bitte Hilfe

vielen lieben dank

11.11.2004, 14:24

Bebbo

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ich bin mir nicht sicher, aber wird die Anzahl der möglichen darstellbaren zahlen nicht so berechnet: 2^(Stellenzahl), in deinem Falle 2^9?

11.11.2004, 14:39

Tobias

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Es scheint mir, du hast die Sache mit denZahlensystemen nicht richtig verstanden.

Eine "Zahl" lässt sich ja in verschiedenen Systemen ausdrücken. Das Bekannteste und Vertrauteste ist natürlich das Deziamlsystem, was man ohne näher drüber nachzudenken benutzt. Aber es gibt auch noch Binärsystem, Hexadezimalsystem usw.

Alle Zahlensysteme sin durch die gleichen Regeln aufgebaut.

Zuerst wählen wir eine Basis.
Die Basis gibt an, wieviele Zeichen ich benutzen darf, um eine Zahl zusammenzubauen.
Im Deziamlsystem darf ich die Zeichen 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 benutzen. Das sind 10 Zeichen, also ist die Basis in diesem System 10.
Im Binärsystem gibt es nur die Zeichen 0 und 1. Das sind 2 Zeichen, also ist die Basis 2.

Jetzt betrachten wir mal exemplarisch die Zahl 1234 im Dezimalsystem.

Diese Zahl lässt sich so schreiben:
$\begin{eqnarray*} 4 \cdot 10^0 + 3 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10^3 \end{eqnarray*}$
Man fängt hinten mit der 4 an und multipliziert diese Ziffer mit der Basis hoch 0. Dann erhöht man den Exponenten und nimmt die 3 * Basis hoch 1 usw. (Die Basis war hier 10).

Genauso machen wir das mit dem Binärsystem, nur benutzen wir die Basis 2.

Beispiel:

10101

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 2^0 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^4 \end{eqnarray*}$

Jetzt zu deinem Problem: Wieviele 9-stellige Binärzahlen gibt es?

Wir reden von Binärzahlen, also Basis = 2.

Man kann natürlich alle Zahlen von 0 bis 111111111 (binär) darstellen.
Könnte ich alle Zahlen von 1 - 111111111 darstellen, so wären dies genau 111111111 Zahlen. Da aber auch noch die 0 mitzurechnen ist kommen wir auf 111111111 + 1 = 1000000000 Zahlen.

Die Zahl wandeln wir jetzt um:

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot 2^0 + 0 \cdot 2^1 + ... + 1 \cdot 2^{9} \end{eqnarray*}$

Die Antwort ist also $\begin{eqnarray*} 2^{9} \end{eqnarray*}$ , das sind in Dezimalschreibweise 512 Zahlen.

Hoffe du hast das verstanden.

11.11.2004, 14:40

@ngel

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das wär ja schon richtig für alle möglichen kombinationen,
aber bei den binaerzahlen, sollte doch, damit sie auch neunstellig sind die erste immer eins sein.....
wäre es dann in meinem fall 2^8?

11.11.2004, 14:56

Tobias

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Ups, du hast völlig Recht. Freude

Meine Antwort bezog sich auf "maximal 9 Stellen".

Bei "genau 9 Stellen" kann man sich das so denken:

Man setze die erste Ziffer immer 1 und kann den Rest (8 Ziffern) dann frei wählen.

"1xxxxxxxx"

Dies sind dann nach der gleichen Begründung 2^8 = 256 Möglichkeiten, alle im Bereich:

100000000 - 111111111

11.11.2004, 14:57

@ngel

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Zitat:

Original von Tobias
Es scheint mir, du hast die Sache mit denZahlensystemen nicht richtig verstanden.

Eine "Zahl" lässt sich ja in verschiedenen Systemen ausdrücken. Das Bekannteste und Vertrauteste ist natürlich das Deziamlsystem, was man ohne näher drüber nachzudenken benutzt. Aber es gibt auch noch Binärsystem, Hexadezimalsystem usw.

Alle Zahlensysteme sin durch die gleichen Regeln aufgebaut.

Zuerst wählen wir eine Basis.
Die Basis gibt an, wieviele Zeichen ich benutzen darf, um eine Zahl zusammenzubauen.
Im Deziamlsystem darf ich die Zeichen 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 benutzen. Das sind 10 Zeichen, also ist die Basis in diesem System 10.
Im Binärsystem gibt es nur die Zeichen 0 und 1. Das sind 2 Zeichen, also ist die Basis 2.

Jetzt betrachten wir mal exemplarisch die Zahl 1234 im Dezimalsystem.

Diese Zahl lässt sich so schreiben:
$\begin{eqnarray*} 4 \cdot 10^0 + 3 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10^3 \end{eqnarray*}$
Man fängt hinten mit der 4 an und multipliziert diese Ziffer mit der Basis hoch 0. Dann erhöht man den Exponenten und nimmt die 3 * Basis hoch 1 usw. (Die Basis war hier 10).

Genauso machen wir das mit dem Binärsystem, nur benutzen wir die Basis 2.

Beispiel:

10101

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 2^0 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^4 \end{eqnarray*}$

Jetzt zu deinem Problem: Wieviele 9-stellige Binärzahlen gibt es?

Wir reden von Binärzahlen, also Basis = 2.

Man kann natürlich alle Zahlen von 0 bis 111111111 (binär) darstellen.
Könnte ich alle Zahlen von 1 - 111111111 darstellen, so wären dies genau 111111111 Zahlen. Da aber auch noch die 0 mitzurechnen ist kommen wir auf 111111111 + 1 = 1000000000 Zahlen.

Die Zahl wandeln wir jetzt um:

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot 2^0 + 0 \cdot 2^1 + ... + 1 \cdot 2^{10} \end{eqnarray*}$

Die Antwort ist also $\begin{eqnarray*} 2^{10} \end{eqnarray*}$ , das sind in Dezimalschreibweise 1024 Zahlen.

Hoffe du hast das verstanden.

die vorherige antwort war für bebbo....

tja, gut möglich dass ich das mit den zahlensystemen nicht begriffen habe traurig

ich dachte, dass die neunstelligen binaerzahlen bei 100000000 anfangen und bei 111111111 aufhören, und dass alle möglichen kombinationen dazwischen dazugehören.

könntest du mir erklären wieso noch die 0 mitzurechnen ist? und wir dann auf 111111111 + 1 = 1000000000 Zahlen kommen? bei mir (in meinem kopf....) wäre das dann eine 10stellige zahl unglücklich

11.11.2004, 15:00

Tobias

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Ich hab in meiner Antwort selber Mist verzapft. smile

(Gut, dass ich das System begriffen hab Hammer

)

Also lies mal die editierte Version, da komm ich bei MAXIMAL 9 Stellen auf 2^9 und bei GENAU 9 Stellen auf 2^8. Vielleicht ist dann die Verwirrung geringern.

..sorry

11.11.2004, 15:07

@ngel

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trotzdem

vielen lieben dank!!!

11.11.2004, 15:56

Dieter

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Man könnte des auch noch ein wenig verallgemeinenern und fragen wieviele n-stellige Zahlen gibt es im m-Zahlensystem, wobei dann n und m natürliche Zahlen sind. Augenzwinkern

11.11.2004, 16:04

hummma

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Das kann man aus der ersten Aufgabe ja leicht herleiten. Fuer die erste Zahl gibt es (m-1) moeglichkeiten. Und Anzahl der restlichen Zahlen ist (n-1). -->

$\begin{eqnarray*} (m-1)m^{n-1} \end{eqnarray*}$

11.11.2004, 17:41

flixgott

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damit sind ja jetzt gleich wieder abzählbarunendlich viele aufagen erschlagen! ich will mal das board sehen, wo so viele probleme auf einmal gelöst werden!

11.11.2004, 19:01

Dieter

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Ja des war mir schon klar, also ich hab

$\begin{eqnarray*} m^n-m^{n-1} \end{eqnarray*}$
gedacht, was ja aquivalent zu deinem ist. Wollt nur schaun, ob ich da richtig liegt. smile

Man muss allerdings noch nen Sonderfall berücksichtigen, nämlich n=1, dann stimmts nicht mehr, weil man ja noch die 0 dazunehmen kann, da sind es dann insgesamt m Möglichkeiten. Augenzwinkern

11.11.2004, 19:28

hummma

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Ja stimmt den Fall hab ich uebersehen.

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