konvergente Folgen :(

11.11.2004, 15:00	Dryandra	Auf diesen Beitrag antworten »
konvergente Folgen :( Hi leute Mal wieder das nächste Übungsblatt X( Hab eigentlich alles herausbekommen auser diese Aufgabe: es seien $\begin{eqnarray} (a_n)n\in \mathbb N (b_n) n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ konvergente Folgen reeller Zahlen mit $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } a_n=a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } b_n=b \end{eqnarray}$ Man zeige: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } max(a_n,b_n)=max(a,b) \end{eqnarray}$ Bitte um eure Hilfe LG eure dryandra
11.11.2004, 15:33	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: konvergente Folgen :( Das Problem hat Zweimalzwei auch, siehe: Maximum, Grenzwert. Schreibe mal deine Ideen auf, was bedeutet z.B. Grenzwert.
11.11.2004, 17:01	flixgott	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe das gefühl (ohne jetzt was gegen den threaderöffner sagen zu wollen) dass hier viel studenten damit probleme haben. warum sträubt ihr euch alle dagegen es mal mit der epsilon delta definition zu versuchen (sauberes und genaues aufschreiben liefert meist schon direkt die antwort)
11.11.2004, 18:20	Zweimalzwei	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Ok, dann will ich es mal versuchen, in der Hoffnung, dass wir zusammen diese Aufgabe heute noch hinbekommen: a_n hat den Grenzwert a, b_n hat en Grenzwert b. Hieraus folgt (jeweils Betrag): a_n - a > Epsilon1 b_n - b > Epsilon2 Hieraus folgt (Betrag) lim(max(max(an,bn))-max(a,b) > Epsilon1 + Epsilon2 wobei beide Epsilon größer Null gewählt sind. Nun gilt es drei Fälle zu untersuchen: a>b (I) a<b (II) a=b (III) zu (I) a>b Hieraus folgt sofort: max(a,b)=a Wir nehmen zu Hilfe: max(a_n) $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ a max(b_n) $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ b Da a>b folgt: max(b_n) $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ b<max(a_n) $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ a Hieraus folgt: max(a_n,b_n)=a_n, max(a,b)=a Da aber lim an=a folgt: lim(max(a_n,b_n))=lim(a_n)=a=max(a,b) Für a>b stimmt die Behauptung! Bitte um Reaktion der anderen "Heidelberg" (oder anderer "Wissender")
11.11.2004, 18:58	flixgott	Auf diesen Beitrag antworten »
im großen und ganzen scheint das alles zu stimmen, aber wenn ich das richtig weiss, dann gilt \|a-a_n\|<epsilon (mag aber nur ein tippfehler sein) wenn du die gültigkeit für a>b gezeigt hast, dann gilt das auch oBdA für b>a, denn a und b sind in der aufgabenstellung vertauschbar!
11.11.2004, 19:05	duwan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: konvergente Folgen :( Hi Hier mein Lösungsvorschlag für das Problem. 1) Nach Cauchy gibt es für eine konfergente Folge c_n ein Index N so dass für alle m,n>N \|c_m -c_n\| < epsilon , mit epsilon > 0 an sonsten beliebibig. für a = b ist die Aufgabe trivial, da alle Teilfolgen gegen diese Grenzwehrte streben. Also auch max(a_n, b_n) sei also a ungleich b. Nach 1) gibt es einen Index N so dass, umgangssprachlich ausgedrückt, sich max(a_n, b_n) für eine Folge entscheiden muss. Daraus folgt die Behauptung eigentlich auch schon. Die Frage ist eignentlich nur, wie man es mathematisch aufschreibt. Die Mathematiker sind da ja etwas eigen. Ne Idee das auzuschreiben wäre: Sei epsilon= \|a-b\| . Wähle N so dass für m,n>N gilt: 1) \|a_m - a_n\| < 1/2 epsilon 2) \|b_m - b_n\| <1/2 epsilon Nun kann man o.B.d.A sagen a_q > b_q mit q > N daraus folgt: lim max(a_q ,b_q) =lim a_q = a =max(a,b) q.e.d is so ne Idee (Übenehme aber keine Haftung )
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12.11.2004, 09:47	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: konvergente Folgen :( Vorschlag von mir für den Fall a > b: es gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_n = a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} b_n = b \end{eqnarray}$ Wähle epsilon = (a - b) / 2 Dann gibt es ein N, so dass für alle n > N gilt: $\begin{eqnarray} \mid a_n - a \mid < \epsilon \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mid b_n - b \mid < \epsilon \end{eqnarray}$ Zeige nun, dass gilt: $\begin{eqnarray} b_n < (a + b) / 2 < a_n \end{eqnarray}$ hilft das weiter?

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