Matrizen Beweis

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Poldi Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen Beweis
Hallo liebe Nation!

Das Rechnen mit den Matrizen klappt schon ganz gut, aber beim Beweisen brauch ich mal wieder Eure Hilfe:

Sei K ein Körper, und eine Matrix, so dass AB = BA für alle gilt. Beweisen Sie, dass für ein ist.

Ich finde leider keine einzige Eigenschaft, die ich aus der Information AB = BA folgern kann, so dass leider nicht mal ein winziger Anfang gelingt.

Wer kann mir denn mal wieder einen kleinen Schubs geben?

Gruß Poldi
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen Beweis
Hallo Poldi,

ich glaube hier muss man sich ein beliebiges Element von AB bzw. BA anschauen, also brauchst du die Definition der Matrixmultiplikation.

Daraus, dass die Gleichheit für alle B gilt, musst du dann zuerst folgern, dass die Nicht-Diagonal-Elemente Null sein müssen.

Versuchst du´s mal? Augenzwinkern

Gruß vom Ben
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Damit die anderen mitraten können hier die Definition:



Notation: bezeichnet das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte einer Matrix.

Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tobias
Damit die anderen mitraten können hier die Definition:


Ob das der richtige Weg ist? Augenzwinkern
Poldi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen Beweis
Zitat:
Original von Ben Sisko
Versuchst du´s mal? Augenzwinkern


"Versuchen" ist der richtige Ausdruck!:

Sei AB = BA = C = , dann gilt für beliebiges :

. Somit folgt:

.
Kann ich jetzt sagen, dass für i k sein muss, weil der Summand nur einmal auftaucht und für beliebiges b die Summe sonst nicht Null werden kann und entsprechen für k j argumentieren, dass dann sein muss???

Wenn das so stimmt könnte ich dann doch folgern, dass und das ist für beliebige b genau dann gleich Null, wenn , womit ich bewiesen hätte, dass alle Zahlen auf der Diagonalen gleich sein müssen.

In meinem Kopf dreht sich jetzt alles, aber ich hab ein ganz gutes Gefühl, was meinen Lösungsweg angeht. Wahrscheinlich kommt jetzt wieder einer von Euch und sagt, dass das auch viel einfacher geht... Aber das bin ich ja schon gewohnt!!

Gruß Poldi
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen Beweis
nein, ich denke dass das nicht richtig ist,
aber du kannst dort hingelangen wo du hin willst, weil du dein B ja zusammenbasteln kannst ...
.


... musst das aber nicht zu ernst nehmen was ich dazu schreibe,
weil ich nämlich zu 'bequem' bin mich ernsthaft in deine Antwort
und das Prob reinzudenken, mir sonst der Kopf raucht
und ich deswegen nur schräg drüberschielen kann und will
 
 
Poldi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen Beweis
Zitat:
Original von Poff
nein, ich denke dass das nicht richtig ist,...

Ich hab's ja geahnt!!!

Zitat:
Original von Poff
... musst das aber nicht zu ernst nehmen was ich dazu schreibe,
weil ich nämlich zu 'bequem' bin mich ernsthaft in deine Antwort
und das Prob reinzudenken, mir sonst der Kopf raucht
und ich deswegen nur schräg drüberschielen kann und will

Ja wie?? Was denn jetzt??? Jetzt bin ich ganz verwirrt!!!

Zitat:
Original von Poff
... weil du dein B ja zusammenbasteln kannst ...

Ach so! Gut, ich hol schon mal Schere und Prittstifte raus !!

Resignierten Gruß
Poldi
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen Beweis
Was denn jetzt???

... das heißt, wenns richtig ist ist's richtig wenn nicht eben nicht . Augenzwinkern
wer was ernsthaft Richtiges hat, wird es schon verteidigen wissen ...
.
Poldi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen Beweis
Zitat:
Original von Poff
... das heißt, wenns richtig ist ist's richtig wenn nicht eben nicht . Augenzwinkern
wer was ernsthaft Richtiges hat, wird es schon verteidigen wissen ...
.


Als ob Mathe nicht schon schwer genug wäre! Jetzt kommst Du mir auch noch mit höherer Philosophie ....

Gruß Poldi
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen Beweis
Hallo Poldi,

es muss nachgewiesen werden, dass die Bedingung A = a I_n notwendig und hinreichend ist. Hinreichend ist klar: Wenn A ein Vielfaches der Einheitsmatrix I_n ist, dann ist AB = BA wg. der Def. der Matrizenmultiplikation.

Notwendigkeit: Da sucht man sich von allen Matrizen B aus M(n,n,K) diejenigen, die besonders störend sind, weil sie Einträge von A verschieben, aber noch einfach zu rechnen sind. Der Körper K hat ein Einselement 1 und man wähle B als Matrix, die nur eine 1 auf (n1, n2) enthält, sonst überall Nullen. Es gibt n^2 Matrizen dieser Art und für diese alle soll AB = BA gelten.

Sei B[n1, n2] eine derartige Matrix. A B[n1, n2] führt dazu, dass die n1-te Spalte von A als n2-te Spalte im Ergebnis auftritt.

B[n1, n2] A führt dazu, dass die n2-te Zeile von A als n1-te Zeile im Ergebnis auftritt. Diese beiden sollen gleich sein, A B[n1, n2] = B[n1, n2] A,
wenn man sich das aufmalt, sieht man

A(n1, n1) = A(n2, n2) als Bedingung, alle anderen Elemente von A Null, w.z.b.w.
Poldi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen Beweis
Zitat:
Original von Raumpfleger
...es muss nachgewiesen werden, dass die Bedingung A = a I_n notwendig und hinreichend ist.


Ich wär schon nicht darauf gekommen, das in diese beiden Teile zu zerlegen!

Zitat:
Original von Raumpfleger
Da sucht man sich von allen Matrizen B aus M(n,n,K) diejenigen, die besonders störend sind, weil sie Einträge von A verschieben, aber noch einfach zu rechnen sind...

Das ist ziemlich fuchsig und auch da wär ich nicht drauf gekommen. Wo nehmt Ihr bloß immer alle die Ideen her???? Ich möcht auch auf sowas kommen!!!!

Jedenfalls hab ich's mit Deiner Erklärung jetzt tatsächlich gepeilt und werde Deine Vorgehensweise in meinem Repertoir abspeichern in der Hoffnung, dass ich dann im Falle eines Falles dran denke, es so zu machen!

Wie immer TAUSEND DANK an alle klugen Köpfe!

Gruß Poldi
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen Beweis
täte mich mal interessieren, wie das ausgegangen ist.
Ich hätte mit der Matrix

angefangen und mal geschaut, wie dann A*B bzw. B*A aussehen.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen Beweis
Zitat:
Original von Poldi
Wo nehmt Ihr bloß immer alle die Ideen her????


Wie WebFritzi immer so schön sagt: "Erfahrung, mein Junge!" (obwohl letzteres jetzt nicht ganz so gut passt Augenzwinkern

Gruß vom Ben
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