Aus Kreis wird ? [gelöst]

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Mathefreak Auf diesen Beitrag antworten »
Aus Kreis wird ? [gelöst]
Gegeben ist die euklidische Ebenemit einem Kreis mit dem Raduis r welcher als Mittelpunkt den Koordinatenursprung besitzt (M(0|0)).

Man wähle auf der positiven x-Achse einen Punkt P(xp|0), sodass 0 < xp < r gilt.

Gesucht sind alle Punkte der Ebene, die vom Kreis den gleichen Abstand wie zum Punkt P haben. Man gebe die dabei entstehende Figur an und beweise, dass es genau diese ist.

Viel Spaß Wink
alpha Auf diesen Beitrag antworten »

sag mal, soll das wirklich (0|0|0) heißen?
weil dann bräuchte man für den Punkt P auch noch eine Koordinate.
außerdem wäre das problem in der dritten dimension doch das selbe wie in der zweiten, wenn du einen kreis nimmst...
Mathefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Örgs, eine Dimension zuviel smile

M(0|0)
alpha Auf diesen Beitrag antworten »

kein problem...
dann glaub ich, hab ich schon mal einen lösungsansatz...
im anhang noch ein bild, für die, die sich das wirklich nicht vorstellen können Augenzwinkern
jokin Auf diesen Beitrag antworten »

Sollte P nicht rechts von 0 liegen?

Zitat:
Man wähle auf der positiven x-Achse einen Punkt P(xp|0), sodass 0 < xp < r gilt.


Also es muss für jeden Punkt Q(qx/qy) der vom Kreis und von P den gleichen Abstand hat gelten:

Betrag(Wurzel(qx^2+qy^2)-r) = Wurzel((qx-px)^2+qy^2)

Das erste ist der Abstand von Q zum Kreis, berechnet, indem man den Radius vom Abstand vom Mittelpunkt abzieht. Falls der Radius größer ist, dh Q liegt im Kreis, braucht man die Betragsstriche.

Und das zweite ist der Abstand von P wobei man sich qy-py sparen kann, da py = 0.



Mir kommt gerade noch die Erkenntnis, dass diese Bedingungen nur für Punkte Q innerhalb des Kreises gelten kann, da ein Punkt ausserhalb ja immer automatisch näher am Kreis als an P liegt.

Daher: Abstand Q vom Kreis:
r-Wurzel(qx^2+qy^2)
Gust Auf diesen Beitrag antworten »

Es entsteht ein Kreis mit r = 1/2 r(ursprünglich).

Ich weiß bloß noch nicht genau, warum :P
 
 
jama Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aus Kreis wird ?
Verschoben in die Rätselecke. Viel Spass beim Lösen.

Gruß,

Jama
joka Auf diesen Beitrag antworten »

meiner meinung entsteht ein Kreis.
Man muss sich einfac zwei Punkte auf dem gegebenen Kreis hernehmen und mit P verbinden. Diese Länge halbiert man und verbindet die neuen Punkte.
Aus dem Strahlensatz geht hervor das diese sehne parallel zur ersten ist und auch halb so lang. Drum Kreis mit 1/2 r und mittelpunkt in M(xp:2/0)

Nough said
henrik Auf diesen Beitrag antworten »

Ehm mit Abstand zum Kreis is sicherlich immer der kürzeste Abstand gemeint.... daher ist dein kreis schwachsinn
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von henrik
Ehm mit Abstand zum Kreis is sicherlich immer der kürzeste Abstand gemeint.... daher ist dein kreis schwachsinn


Mit "Abstand zum Kreis" ist sicherlich der kürzeste Abstand gemeint. Daher erscheint mir jokas Kreis die richtige Lösung zu sein!!

Was hältst du an der Lösung für schwachsinnig?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es sei X ein gesuchter Punkt und d(P,X) sein Abstand von P. Da er vom Kreis denselben Abstand haben soll, muß X auf einem Kreis um M vom Radius r-d(P,X) liegen, für seinen Abstand d(M,X) von M gilt daher:

d(M,X)=r-d(P,X) <=> d(M,X)+d(P,X)=r

Dies ist aber die definierende Eigenschaft einer Ellipse als Ortslinie.

Der gesuchte geometrische Ort ist daher ein Ellipse mit den Brennpunkten M und P, der großen Halbachse a=½·r, der linearen Exzentrität e=½·d(M,P) und der kleinen Halbachse b mit b²=a²-e².
joka Auf diesen Beitrag antworten »

immer der kürzeste abstandt mhhh
aber was passt dann nicht an meinem Beweis. ich nimm auch den direkten abstand!
mach mal ne zeichnung oder so
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Leopold hat - wie so oft smile - völlig recht.

Ich hab mal eine Skizze angehängt, an der man die Gleichung
d(P,X) + d(M,X) = r
ablesen kann.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

@joka: Deine Konstruktion interpretiere ich so, wie ich sie hier skizziert habe.

Das Problem dabei ist, dass A' mittig zwischen P und A liegt, der kürzeste Abstand zum Kreis aber von A' nach A'' geht. Ebenso ist der Abstand von B' nach P gleich dem von B' nach B, aber der kürzeste Abstand zum Kreis geht von B' nach B''.

Deine Konstruktion liefert also leider nicht die gesuchte Ortskurve. Ich hab deine Lösung beim ersten Lesen nicht nachgearbeitet und war nur etwas verärgert über henriks Wortwahl.
joka Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt.
Ihr habt recht.
ich habe den abstand net richtig aufgetragen :-(
ich depp :rolleyes:
egal
Xmas Auf diesen Beitrag antworten »

Die Punkte die gesucht sind haben die koordinaten (x/y)

dann gilt
Abstand zum Kreis=r-(x²+y²)^0,5
Abstand zu P =((x-px)²+y²)^0,5
es ergibt sich:
2(x²+y²)^0,5=r
also sind r/2=(x²+y²)^0,5
was die darstellung als Funktion eines kreises mit dem radius r/2 ist


zufrieden ?? wenn nicht dann X(

nochwas @all die die bilder gepostet haben sieht hübsch aus aber is nich so prall Augenzwinkern

is ja gutdas rot eingefärbte hab ich vergessen daraus folgt das grüne sind folgefehler ^^
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist falsch.
Wie schon weiter oben festgestellt, ist die gesuchte Ortslinie eine Ellipse.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Xmas
zufrieden ?? wenn nicht dann X(

nochwas @all die die bilder gepostet haben sieht hübsch aus aber is nich so prall Augenzwinkern


Hallo Xmas, vielleicht solltest du an deiner Ausdrucksweise arbeiten. Dies ist kein Chat, sondern ein Nachhilfeforum.

Und danke, dass dir die Bilder gefallen.

Gruss,
SirJective
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