Induzierte Verteilung

12.11.2004, 15:46	Phobator	Auf diesen Beitrag antworten »
Induzierte Verteilung Ich brache dringend Hilfe! Ich habe 'Omega'={1,2,4,7} gegeben und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten p(1)=1/3; p(2)=1/4; p(4)=1/5; p(7) = 13/60 Die Zufallsvariable ist definiert als X('klein Omega') = ('klein Omega - 4)^2 ... Nun soll ich auf Basis dieser Daten ('Omega'^X, P^X) angeben und den Erwartungswert berechnen: 1. Auf dem Grundraum ('Omega',P) 2. Auf dem Bildraum ('Omega'^X, P^X) sorry für fehlende Latex-Kenntnisse...
12.11.2004, 19:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Erwartungswert kannst du direkt über dem gegebenen $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ berechnen: $\begin{eqnarray} \mathcal{E}X = \sum_{\omega \in \Omega}^{} X (\omega) P(\omega) = X (1) P(1)+X (2) P(2)+X (4) P(4)+X (7) P(7) \end{eqnarray}$ Das wäre die in 1. verlangte Lösung. Oder du kannst zuerst die Verteilung von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ bestimmen. Dazu überlegst du dir zunächst, welche Werte $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ annehmen kann (es sind nur die drei Werte 0,4,9). Dann bestimmst du, mit welcher Wahrscheinlichkeit diese Werte jeweils angenommen werden, also $\begin{eqnarray} P(X=k) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k=0,4,9 \end{eqnarray}$ . Das machst du, indem du die $\begin{eqnarray} P(\omega) \end{eqnarray}$ für die $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ addierst, für die $\begin{eqnarray} X (\omega) \end{eqnarray}$ dasselbe $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ergibt. Am besten stellst du dies in einer Tabelle dar: $\begin{eqnarray} \begin{matrix} k & 0 & 4 & 9 \\ P(X=k) & ... & ... & ... \end{matrix} \end{eqnarray}$ Diese Tabelle stellt die sogenannte Verteilung von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ dar. (Zur Probe: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zweiten Zeile muß 1 ergeben.) Jetzt kannst du den Erwartungswert so ausrechnen: $\begin{eqnarray} \mathcal{E}X = 0 \cdot P(X=0) + 4 \cdot P(X=4) + 9 \cdot P(X=9) \end{eqnarray}$ Du mußt also nur jeden Wert der ersten Zeile der Tabelle mit der darunter stehenden Wahrscheinlichkeit multiplizieren und alle Produkte addieren. Das wäre die in 2. verlangte Lösung. Zur besseren Vorstellung ein Beispiel: Lehrer L gibt eine Klassenarbeit zurück. Jeder Schüler erhält eine Note von 1 bis 6. $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ist also die Menge aller Schüler: $\begin{eqnarray} \Omega = \{\mbox{Anne, Benjamin, Corina, Daniel, ... ,Tim}\} \end{eqnarray}$ Nehmen wir die Laplace-Wahrscheinlichkeit auf $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ , d.h. jeder Schüler hat dieselbe Wahrscheinlichkeit. Nehmen wir weiter an, es sind 26 Schüler, dann gilt also $\begin{eqnarray} P(\mbox{Anne}) = ... = P(\mbox{Tim}) = \frac{1}{26} \end{eqnarray}$ Die Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ordne jetzt jedem Schüler seine Note zu, etwa so: $\begin{eqnarray} X (\mbox{Anne}) = 3 \ , \ X (\mbox{Benjamin}) = 5 \ , \ ... \ , \ X (\mbox{Tim}) = 2 \end{eqnarray}$ Wie kannst du nun den Notenschnitt $\begin{eqnarray} \mathcal{E}X \end{eqnarray}$ errechnen? Entweder so: $\begin{eqnarray} \mathcal{E}X = X (\mbox{Anne})P(\mbox{Anne}) + X (\mbox{Benjamin})P(\mbox{Benjamin}) + ... + X (\mbox{Tim})P(\mbox{Tim}) \\ = 3 \cdot \frac{1}{26} + 5 \cdot \frac{1}{26} + ... + 2 \cdot \frac{1}{26} = \frac{3+5+...+2}{26} \end{eqnarray}$ Das entspräche der Methode 1. Oder so: Du zählst erst, wieviele 1er es gab (z.B. 2 Stück) und addierst deren Wahrscheinlichkeiten, dann ebenso mit den 2ern (z.B. 5 Stück) usw. Du erhältst eine Notentabelle der Art $\begin{eqnarray} \begin{matrix} k & 1 & 2 & ... & 6 \\ P(X=k) & \frac{2}{26} & \frac{5}{26} & ... & \frac{1}{26} \end{matrix} \end{eqnarray}$ Und den Notenschnitt kannst du jetzt so ausrechnen: $\begin{eqnarray} \mathcal{E}X = 1 \cdot \frac{2}{26} + 2 \cdot \frac{5}{26} + ... + 6 \cdot \frac{1}{26} \end{eqnarray}$ Das entspräche der Methode 2. Du siehst, das ist alles nicht so geheimnisvoll, wenn man sich nur erst einmal klargemacht hat, welche einfachen Sachverhalte sich manchmal hinter den Begriffen verbergen.
15.11.2004, 09:32	Phobator	Auf diesen Beitrag antworten »
besten dank! ich hatte nach der lektüre von sekundärliteratur schon eine ahnung, aber jeder author benutzt eine andere notation und wie ich finde viel zu wenig erklärung...
17.11.2004, 12:04	Norb	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, QMII ist schon toll, nicht?
18.11.2004, 11:57	Phobator	Auf diesen Beitrag antworten »
es ist interessant, aber damit es toll oder gar super ist, müsste es mir runtergehen wie öl. es ist aber eher so als wollte ich 500g mehl verputzen...

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