Rechenproblem mit GF(4)

12.11.2004, 18:59	Mike	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechenproblem mit GF(4) Hallo! Ich habe ein kleines rechnerisches Problem: Ich soll durch elemtare Umformungen einer Matrix auf Stufenform je eine Basis der von den gegebenen Vektoren aufgespannten Unterraum U von K3x1 bestimmen. Das wär ja nicht so schlimm, aber mein Unterraum sieht folgendermaßen aus: K = GF(4) : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b \\ b \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & a & b & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & b & 0 \\ 1 & 0 & 1 & b & 0 \\ a & b & 1 & a & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & b & 0 \\ 1 & 0 & 1 & b & 0 \\ a & 0 & 1 & a & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich weiß wie das Umformen geht, doch habe ich leider keine Ahnung wie ich bei dieser Aufgabe auf eine Stufenform komme. Kann mir irgendwer helfen? Danke
12.11.2004, 19:06	Piwi	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie es aussieht, hat dieses LGS unendlich viele Lösungen. D.h. du musst einen Parameter einführen. Du setzt also eine Spalte =t und brignst sie auf die andere Seite des Gleichheitszeichens. Dann müsste es klappen.
12.11.2004, 20:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was du da genau machst, verstehe ich ehrlich gesagt nicht. Ich vermute einmal, daß 0,1,a,b die vier verschiedenen Elemente von GF(4) sind (und a,b keine Variablen sind). Dann besteht die Additionstabelle $\begin{eqnarray} \begin{matrix} + & 0 & 1 & a & b \\ 0 & 0 & 1 & a & b \\ 1 & 1 & 0 & b & a \\ a & a & b & 0 & 1 \\ b & b & a & 1 & 0 \end{matrix} \end{eqnarray}$ und die Multiplikationstabelle $\begin{eqnarray} \begin{matrix} \bullet & 0 & 1 & a & b \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & a & b \\ a & 0 & a & b & 1 \\ b & 0 & b & 1 & a \end{matrix} \end{eqnarray}$
12.11.2004, 21:18	Mike	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Multiplikations- und Additionstabelle habe ich eh. Mein Problem liegt jetzt darin, dass ich diese Matrix in folgende Form bringen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ x & x & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wobei die x für beliebige Elemente stehen. Wichitg ist nur, dass im oberen "Viereck" die 1er in einer Diagonale stehen und die 0er in der Nebendiagonale. Unten stehen irgendwelche Elemente und im linken Teil müssen lauter 0er stehen. Ich hoffe, dass ich das jetzt gut genug beschrieben habe und dass sich jetzt irgendwer auskennt.
12.11.2004, 21:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe die Aufgabe schon gar nicht richtig. Ich versuche einmal herauszufinden, was du meinst. Geht es darum, für den von den 5 Vektoren erzeugten Unterraum $\begin{eqnarray} U =\left\langle \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ a \end{pmatrix} \, , \, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ b \end{pmatrix} \, , \, \begin{pmatrix} b \\ b \\ 0 \end{pmatrix}\right\rangle \end{eqnarray}$ eine Basis anzugeben?
13.11.2004, 12:13	Mike	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich soll für diesen Unterraum eine Basis angeben und diese Basis bekomme ich, wenn ich die Matrix auf Stufenform bringe. Aber ich möchte jetzt nicht, dass du dich da jetzt extra erkundigst. Es macht nix, wenn du dich nicht auskennst. Vielleicht finde ich woanders Hilfe. Danke auf jeden Fall, dass dich meinem Problem gewidmet hast.
Anzeige

13.11.2004, 23:20	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum so formal gedacht? Hier kann man die Lösung doch fast unmittelbar ablesen. Der Nullvektor trägt zum Erzeugnis nichts bei. Also weg damit. Ferner kann man jeden Vektor durch ein Vielfaches ungleich dem Nullvektor ersetzen. Daher gilt: $\begin{eqnarray} U =\left\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ a \end{pmatrix} \, , \, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right\rangle \end{eqnarray}$ Und nun sieht man: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ a \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Danach kann man auch diesen Vektor streichen: $\begin{eqnarray} U =\left\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ a \end{pmatrix} \, , \, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right\rangle \end{eqnarray}$ Und schließlich gilt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Somit verbleibt: $\begin{eqnarray} U =\left\langle \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right\rangle \end{eqnarray}$ Und daß diese beiden Vektoren linear unabhängig sind, ist unmittelbar ablesbar. Der vorgegebene Unterraum ist daher zweidimensional.
14.11.2004, 16:29	Mike	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist mir schon klar, und das wäre ja auch einfach, doch ich soll diese Matrix (Unterraum) auf Stufenform bringen, weil ich danach mit Hilfe der Parameterform kontrollieren soll, ob vorgegebene Vektoren zu dem Unterraum gehören oder nicht. Das ist ja der Haken an der ganzen Sache. Aber egal... Danke auf jeden Fall für deine Lösungsvorschläge, vielleicht komm ich ja doch noch drauf lg

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »