Kreis oder Kugel ?

07.04.2007, 18:34

h4ck

Kreis oder Kugel ?

also ersteinmal meine erste aufgabe , von der ich glaube das die richtig ist:

zu zeigen ist ob eine kreis oder kugelgleichung vorliegt:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} ^{2}- \begin{pmatrix} -8 \\ 6 \end{pmatrix} + 21= 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} + y^{2} + z^{2}+ 8x - 6y - oz = -21 \end{eqnarray*}$

nach quadratischer ergänzung und umformen hab ich dann

$\begin{eqnarray*} (x+4)^{2} + (y-3)^{2} + (z-o)^{2} = 4 \end{eqnarray*}$

also für M ( -4/3/0) und r=2
ist das so richtig ? also hab ich ne Kugel ??
Aber wenn das so einfach geht dann kann ich doch immer sagen dass es ne Kugel ist und dann einfach immer das Z mitschreiben und dann kommt es immer hin oder nicht ? dann is die dritte koordinate halt einfach 0 von dem mittenpunkt der Kugel ?

und dann jedenfalls bei der nächsten aufgabe hab ich sowas:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} ^{2}- \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \end{pmatrix} + 45= 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} + y^{2} + z^{2}- 8x - 10y - oz = -45 \end{eqnarray*}$

nach quadratischer ergänzung und umformen hab ich dann

$\begin{eqnarray*} (x-4)^{2} + (y-5)^{2} + (z-o)^{2} = -4 \end{eqnarray*}$

Aber aus -4 kann ich ja keine wurzel ziehen , daher dachte ich dass ist dann wohl n Kreis aber wenn ich dann die Kreisgleichung nehme , also z weglasse kommt ja auch -4 raus....Was mach ich falsch ??
Woran kann ich genau sehen ob es sich um einen Kreis oder eine Kugel handelt ??

Bin dankbar für jede Hilfe

07.04.2007, 18:48

Primzahl

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das kriterium ob kreis oder kugel ist eigentlich ganz einfach.
kann es eine kugel in einem zweidimensionalen raum, also einem koordinatensystem mit x- und y-achse geben?
in all deinen gleichungen sind doch nur zwei koordinaten gegeben. verwirrt

07.04.2007, 18:55

h4ck

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na eigentlich ja nicht , aber in meinem buch ist eine aufgabe genauso wie die erste , wo dann einfach gesagt wir der miteelpunkt ist M ...mit z=0 und dadurch is es eine Kugel , das steht da wortwörtlich drin....genauso das gleiche wie meine erste aufgabe nur andere zahlen ....

zu 2 ) und was ist jetzt mit meiner negativen zahl ? dh es ist keine kugel oder kreis ?? aber was ist es denn dann ?

gruß

07.04.2007, 19:07

Primzahl

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wie lautet die aufgabenstellung denn genau?
eigentlich kann es kugeln nur im 3-dimensionalen raum oder höher geben und kreise im 2-dimensionalen oder mehr.
mit den gleichungen in dieser form:

$\begin{eqnarray*} (\vec{x} -\vec{m})^2 =r^2 \end{eqnarray*}$ gibt man ja eigentlich je nach anzahl der koordinaten kreis-und kugelgleichungen an.
es gibt zwar glaube ich auch kreise im 3-dimensionalen raum, aber diese gleichung sieht anders aus, bin ja auch erst schüler. Big Laugh

nach den ersten gleichungen in 1) und 2) müssten das beide kreise sein.

07.04.2007, 21:34

mYthos

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RE: Kreis oder Kugel ?

Zitat:

Original von h4ck
...
zu zeigen ist ob eine kreis oder kugelgleichung vorliegt:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} ^{2}- \begin{pmatrix} -8 \\ 6 \end{pmatrix} + 21= 0 \end{eqnarray*}$
...

Schon diese Angabe ist Unsinn! Vielmehr müsste das so heissen:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}^{2} - \begin{pmatrix} -8 \\ 6 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} + 21= 0 \end{eqnarray*}$

Da diese Gleichung zweidimensional ist, handelt es sich um einen Kreis (im Dreidimensionalen wäre es dann eine Kugel; das gewaltsame Einführen von $\begin{eqnarray*} 0 \cdot z \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls Mumpitz, denn es steht ja in der Angabe weit und breit kein $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ . Bei einer Kugel müssen also immer zumindest die quadratischen x, y- und z-Glieder vorhanden sein!!).

Danach hast du bei der quadratische Ergänzung sehr wahrscheinlich weitere Fehler gemacht. Denn in Koordinatenform aufgelöst heisst das zunächst

$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 + 8x - 6y = - 21 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 + 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = - 21 + 25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Analog würde das nun bei der Kugelgleichung in $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ gehen.

mY+

09.04.2007, 15:11

h4ck

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ja , das "vektor X" hab ich vergessen .... aber wie kann ich das denn jetzzt genau festlegen ...
also wenn ich 2 koordinaten habe , dann isses automatisch ein kreis ja ?
und wenn ich 3 koordinaten habe kamm es ja ein kreis oder eine kugel sein im R.3 oder ?? oder gibt es im R3 keine kreise ??

in meinem buch aber wird auch einfach das z dazugenommen =/

10.04.2007, 12:04

mYthos

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Im Zweidimensionalen beschreibt diese Gleichung immer einen Kreis:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}^{2} - \begin{pmatrix} -8 \\ 6 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} + 21= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}^{2} - \begin{pmatrix} -8 \\ 6 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} + 21= 0 \end{eqnarray*}$

[EDIT:]

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x + 4 \\ y - 3 \end{pmatrix}^{2} = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

Kreis M(-4;3), r = 2

Soll dieselbe Gleichung im Dreidimensionalen ( $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ ) gelten, beschreibt sie automatisch eine Kugel, wie man sieht, denn dann MUSS man "still" die z-Koordinaten hinzufügen:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}^{2} - \begin{pmatrix} -8 \\ 6\\0 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} + 21= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}^{2} - \begin{pmatrix} -8 \\ 6\\0 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} + 21= 0 \end{eqnarray*}$

[EDIT:]

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x + 4 \\ y - 3 \\ z - 0 \end{pmatrix}^{2} = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

Kugel M(-4;3;0), r = 2

-------------

Soll in $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ nach wie vor exakt der obige Kreis beschrieben werden, kann man dies mit dieser Gleichung allein nicht machen, sondern muss ihn als Schnittelement einer Kugel mit einer Ebene definieren, in diesem Fall als Schnitt der obigen Kugel mit der Ebene z = 0.

Es gibt auch für $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ eine Parametergleichung eines Kreises, sie lautet:

Die Parameterform des Kreises k[M;r;E]:

X = M + U*cos(t) + V*sin(t) --- t € IR, U, V € E, M Mittelpunkt, Winkel(U,V) = 90°, |U| = |V| = r

sh. auch

Kreisgleichung für R^3
Kreisgleichung
Ortsline?

In deinem Fall würde die Gleichung des obigen Kreises dann so lauten:

X = (-4;3;0) + (1;0;0)*cos(t) + (0;1;0)*sin(t)

Durch Variation von t werden alle Punkte der Kreislinie erreicht.

mY+

10.04.2007, 15:06

h4ck

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vielen dank mythos..

ich glaub das konnt ich soweit nachvollziehn !! werd mir jetzt nochmal in ruhe anschaun

10.04.2007, 15:24

mYthos

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Ich hatte oben noch einen Fehler, sorry, sh. EDIT!

Und vielleicht noch als "Nachschub":

Die allgemeine Vektorgleichung

$\begin{eqnarray*} (\vec{X} - \vec{M})^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ beschreibt in $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ einen Kreis, in $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ eine Kugel.

Den gegenständlichen Kreis in $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ kann man als System so beschreiben:

$\begin{eqnarray*} (x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = 0 \end{eqnarray*}$

mY+

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