Zusammenhänge in der integralrechnung

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Croven Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhänge in der integralrechnung
Hallo,

wir haben seit einigen Stunden jetzt die integralrechnung begonnen.
Ich verstehe eigentlich die ganze Vorgehensweise mit Ober/untersumme usw, mir sind die zusammenhänge zwischen einzelnen begriffen aber noch nicht ganz klar, was mir die sache erheblich erschwer :/

also:

wir haben z.B. die Funktion

und wir wollen von x1=1 bis x2=5 die Fläche zwischen dem Graphen und der X-Achse ausrechen ist das dann:



aber was ist das für eine Funktion ? eine Flächeninhaltsfunktion oder eine integralfunktion, oder sogar beides ?!


Könnte mir einer also die Begriffe sowie die zusammenhänge dieser Begriffe mal erklären:



(1) Flächeninhaltsfunktion
(2) Integralfunktion
(3) Stammfunktion
(4) unbestimmtes Integral
(5) bestimmtes Integral
(6) von welchen Fkt. gibt es unendlich viele usw..z.B. Integralfunktion


thx schonmal *g
chiller Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal zur Unterscheidung zwischen best. / unbest. Integral :
Das bestimmte Integral ist keine Funktion, sondern ein Wert, der Wert,
der die Fläche angibt :



Das unbest. Integral gibt die StammfunktionEN an (es gibt unendlich viele)
Mit der Stammfunkiton kannst du das best. Integral dann ausrechnen.



Die Integralfunktion ist eine Funktion, die die Fläche unterhalb eines
Graphen in Abhängigkeit von der oberen Granze angibt (untere Grenze ist fest)



Zudem gilt noch : eine Integralfkt ist immer eine Stammfunktion (von den unendlich vielen, aber eine Stammfunktion muss keine Integralfunktion sein.

Hoffe, dir damit geholfen zu haben.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Croven


aber was ist das für eine Funktion ? eine Flächeninhaltsfunktion oder eine integralfunktion, oder sogar beides ?!


ist erstmal gar keine Funktion, denn das ist ja ein feststehender Wert!! Dass du da jetzt geschrieben hast

,

ist auch falsch!! ist zwar eine Stammmfunktion zu , aber das links ist ja ein bestimmtes Integral!

Erstmal der Begriff des bestimmten Integrals: Das bestimmte Integral hat eindeutige Grenzen und . Ist integrierbar, so heißt die reelle Zahl , für die



gilt, das bestimmte Integral der Funktion über dem Intervall . Dabei ist eine feste Zahl, man berechnet damit also einfach das Integral in einem bestimmten Intervall, wenn man die Grenzen gegeben hat! Wenn man eine Stammfunktion zu gefunden hat, dann kann man das bestimmte Integral folgendermaßen berechnen:

.

Eine Funktion ist genau dann Stammfunktion der Funktion , wenn .
Unter einem unbestimmten Integral versteht man eine Stammfunktion von . Ist eine solche Stammfunktion, dann ist also die Menge aller Stammfunktionen

.

Jede Stammfunktion ist ein unbestimmtes Integral. Zu dem "unendlich viele": Es gibt zu jeder Funktion unendlich viele Stammfunktionen und jeder dieser Stammfunktionen bildet jeweils ein unbestimmtes Integral. Deswegen kann man weder "das unbestimmte Integral" noch "die Stammfunktion" sagen.

Jetzt zur Integralfunktion: Ist auf integrierbar, so heißt die für definierte Funktion



Integralfunktion. Nicht jede Stammfunktion ist eine Integralfunktion. Aber jede Integralfunktion einer stetigen Funktion ist eine Stammfunktion!

Ein Beispiel: Es sei . Dann ist die Funktion zwar eine Stammfunktion, aber keine Integralfunktion. Denn wäre es eine Integralfunktion, so müsste es ja ein geben mit .
Wir wissen aber, dass auch eine Stammfunktion ist. Dann ist nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechung aber

.

ist aber negativ und kann nicht werden! Also ist keine Integralfunktion, aber trotzdem eine Stammfunktion.

Unter der Flächeninhaltsfunktion von würde ich mir die Funktion vorstellen, die den Flächeninhalt zwischen Graph von und x-Achse angibt. Sei z.B. eine auf integrierbare Funktion.
Einfach kann die Flächeninhaltsfunktion dann so dargestellt werden:

.

Wenn stetig ist, geht es auch so: Seien (es soll natürlich gelten) die Punkte im Intervall mit der Eigenschaft, dass in jedem der Intervalle (mit ) das gleiche Vorzeichen hat (in diesen Intervallen soll also jeweils entweder oder gelten). Dann ist der angesprochene Flächeninhalt von bis zu der Zahl , wobei derjenige Index ist, für den (mit ) gilt:

.

Gruß MSS
Croven Auf diesen Beitrag antworten »

habs gerade mal überflogen..
endlich mal ne ordentlich zusammenfassung ! danke
albertmai Auf diesen Beitrag antworten »

is echt super! vielen dank!
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