Grenzwert - Hilfe Wurzeln

14.11.2004, 15:37

Yoko

Grenzwert - Hilfe Wurzeln

Jo,

und schon wieder eine Grenzwertaufgabe mit der ich Probleme habe.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+\sqrt{n} } -\sqrt{n-\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$

diese konnte ich soweit vereinfachen wenn es überhaupt eine Vereinfachung ist.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1} } -\sqrt{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n-1} } \end{eqnarray*}$

hierraus vermute ich das als Grenzwert 1 rauskommt.
Fragt sich nur wie ich das rechne, ich habe schon versucht zu erweitern aber da rechne ich nur im Kreis und am Ende habe ich wieder meine Ausgangsfunktion.

Bei solchen Sachen gibt es doch bestimmt noch weitere Tricks als zu erweitern oder??

Yoko

14.11.2004, 15:57

Leopold

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Die Umformung ist falsch. Du kannst das leicht für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ sehen. Der gegebene Term liefert hierfür $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . Dagegen liefert dein umgeformter Term $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]2 \end{eqnarray*}$ .

Um den Grenzwert zu finden, gehe folgendermaßen vor:

1. Schreibe den Term als Bruch zum Nenner 1.
2. Erweitere mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n-\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ .
3. Vereinfache den Zähler.
4. Kürze den Bruch durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ und ziehe diesen Ausdruck in die Wurzeln des Nenners.

14.11.2004, 18:41

Yoko

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öhm ja,

kann meinen Wurzelterm denn einfach als Bruch schreiben?

versteh ich nicht ganz. verwirrt

14.11.2004, 19:04

Leopold

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Du kannst jeden Term als Bruch zum Nenner 1 schreiben.

15.11.2004, 10:28

Yoko

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Hi,

Ist ja ganz logisch eigentlich Big Laugh

Mir kam diesbezüglich heute Nacht die große Erleuchtung. Aber ab hier komme ich auch nicht mehr weiter.

Ich tippe mal meine Rechnung ein

1. Als Bruch
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n} } -\sqrt{n-\sqrt{n} }}{1} \end{eqnarray*}$

2. erweitern
$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{n+\sqrt{n} } -\sqrt{n-\sqrt{n}})\cdot (\sqrt{n+\sqrt{n} } +\sqrt{n-\sqrt{n}})}{\sqrt{n+\sqrt{n} } +\sqrt{n-\sqrt{n}}} \end{eqnarray*}$

3. Vereinfachen
$\begin{eqnarray*} \frac{2 \sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n} } +\sqrt{n-\sqrt{n}}} \end{eqnarray*}$

4. kürzen bloß wo?????

gruß yoko

15.11.2004, 15:57

BraiNFrosT

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Zitat:

Original von Yoko

3. Vereinfachen
$\begin{eqnarray*} \frac{2 \sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n} } +\sqrt{n-\sqrt{n}}} \end{eqnarray*}$

4. kürzen bloß wo?????

3. $\begin{eqnarray*} = \frac{2}{\frac{1}{\sqrt{n}}*(\sqrt{n+\sqrt{n} } +\sqrt{n-\sqrt{n}})} \end{eqnarray*}$

Und nun musste es da rein multiplizieren.

( Oder vorher wurzel(n) im nenner ausklammern und dann kürzen )

20.11.2004, 22:51

Fragender

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Kann jemand erläutern bzw. einen Ansatz geben, wie man von Schritt 2 auf 3 kommt.

Ich meine das Vereinfachen der Wurzeln.

Wäre echt toll, denn mir fehlt dieses Wissen.

Danke im Voraus,

Fragender

20.11.2004, 22:56

Mathespezialschüler

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Die binomische Formel

$\begin{eqnarray*} (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \end{eqnarray*}$

kennst du oder?
Im Zähler steht da ja

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{n+\sqrt{n}} -\sqrt{n-\sqrt{n}}\right)\cdot \left(\sqrt{n+\sqrt{n}} +\sqrt{n-\sqrt{n}}\right) \end{eqnarray*}$

Setze $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+\sqrt{n}}=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{n-\sqrt{n}}=b \end{eqnarray*}$ in die obige binomische Formel ein, dann klapts Augenzwinkern

20.11.2004, 23:17

Fragender

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Ja das hab ich ja verstanden. Binomische Formel kenn ich natürlich, aber wie vereinfache ich bis zu $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Hab irgendwie vergessen wie die Wurzelmultiplikation aussieht.

Hmmm...

Vielleicht mit Ansatzbeispiel? Hammer

20.11.2004, 23:19

Mathespezialschüler

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Wenn du einfach in die Formel einsetzt mit dem a und b wie ich das angegeben hab, dann bekommst du doch

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{n+\sqrt{n}}\right)^2 -\left(\sqrt{n-\sqrt{n}}\right)^2=n+\sqrt{n}-(n-\sqrt{n})=... \end{eqnarray*}$

Klar?

20.11.2004, 23:24

Fragender

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Achsoooo,

jetzt habs ichs vestanden.
Potenz 2 und die Wurzel fallen ja deshalb weg.

Vielen Dank.

Manchmal kommt man auf die einfachsten Sachen überhaupt nicht. Gott

25.09.2005, 23:05

StrayFire

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tja.. dumm ist, wenns innem test/klausur passiert.. mathe kann so unfair sein.

16.11.2010, 15:56

Nanito

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wie klammert man denn jetzt im nenner die wurzel aus?? verwirrt

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