Vollständige Induktion prüfen, fehler erklären

Neue Frage »

monofone Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion prüfen, fehler erklären
Moin,
ich versuch mal ganz lieb und ordentlich alles aufzuschreiben :
Aufgabe ist es zu Beweisen das immer durch 2 Teilbar ist.

Daraufhin habe ich mal so angefangen:

und für n=1 wurde daraus dann:
Induktionsanfang

und das ist durch 2 teilbar ->wahr

Induktionsbehauptung


daraus wird dann im Induktionsschritt

im weiteren hab ich dann den versuch des Beweises
=+2n+1+n+1
=+3n+2
=+n + n+1 + n+1

So mein Problem ist nun das ich mir 1. beim Induktionsanfang nicht sicher bin ob das so richtig ist und 2. ob das was da unten steht der Beweis für das ist was ich da behaupte... ich befürchte ja das nix von beidem zutrifft konnte mir bisher aber nichts anderes aus den gefundenen anleitungen zusammenreimen. unglücklich

Schon mal dank fürs Lesen Wink
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion prüfen, fehler erklären
Habe erhebliche Schwierigkeiten, die Aufgabe zu verstehen.
Zitat:
Original von monofone
Aufgabe ist es zu Beweisen das immer durch 2 Teilbar ist.

hmm, ist vielleicht hier n² + n gemeint?
Und bei dem Beweis tauchen dann wie aus dem nichts irgendwelche Summen auf. Bitte nochmal genauer die Aufgabe schildern.
monofone Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion prüfen, fehler erklären
Auf jeden fall ist gemeint sorry ich bin noch etwas unbeholfen mit dem Latex
Das mit den Summen hab ich mir einfach mal so zusammen gereimt denn das geht doch über k bis n und erzeugt durch das multiplizieren mit der 2 meine Zahlen die immer durch 2 teilbar sein sollen das will ich ja mit der Formel hinbekommen
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Müsst ihr Induktion verwenden? Klammer mal n in deinem Term aus. Was weiß man von zwei aufeinanderfolgenden Zahlen?
monofone Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tobias
Müsst ihr Induktion verwenden?

ja.
Zitat:
Klammer mal n in deinem Term aus.

welchen meinst du ?
ich komm da immer nur auf konstrukte mit 1/n
ich bin leider auch extrem doof was solche problematiken angeht da ich immer sehr schnell das Ziel aus dem Auge verliere
Gast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion prüfen, fehler erklären
Der Induktionsanfang sollte klar sein.
Unter der Induktionsvoraussetzung, daß die Beh. für n gilt ist dann zu folgern, daß sie auch für n+1 gilt.
Du musst also zeigen:



ist durch 2 teilbar.

Dabei darfst (solltest) Du die Induktionsvoraussetzung verwenden.
Und wenn Du obigen Term mal ausmultiplizierst und die Ind.-Vor. benutzt, dann siehst Du's eigentlich sofort...
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

also, Tobias meint, du kannst auch schreiben: n² + n = n * (n+1)
dann sieht man sofort dass das durch 2 teilbar ist.
Das mit den Summen halte ich für Unsinn, die haben bei dieser Aufgabe nichts zu suchen.
Beweis mit vollständiger Induktion:
Machen wir den 1. Schritt:
Was ist die Induktionsverankerung?
monofone Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion prüfen, fehler erklären
Zitat:
Original von Gast
Der Induktionsanfang sollte klar sein.

ne genau das ist er ja nicht smile
ich schrieb ja das ich mir auch beim Induktionsanfang nicht so sicher bin.

Zitat:
Original von Gast
Dabei darfst (solltest) Du die Induktionsvoraussetzung verwenden.
Und wenn Du obigen Term mal ausmultiplizierst und die Ind.-Vor. benutzt, dann siehst Du's eigentlich sofort...

s.o. gleiches Problem ist die Ind.Vor. denn Richtig ? bzw welcher Ausdruck ist das Überhaupt unglücklich
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion prüfen, fehler erklären
fassen wir zusammen:
die Behauptung ist: n² + n ist durch 2 teilbar.
Induktionsanfang: setze n = 1 ein und prüfe die Behauptung
(bitte selbst tun)
dann der Induktionsschritt:
es gelte die Behauptung für n, zeige dass die Behaptung auch für n+1 gilt. Sprich: setze n+1 in die Behauptung ein und zeige, dass auch das durch 2 teilbar ist.
wird der Nebel lichter?
Gast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion prüfen, fehler erklären
Also bevor wir über dieser Banalität alt werden:

monofone Auf diesen Beitrag antworten »

noch besser ich werde das jetzt mal für ne andere aufgabe versuchen ich hoffe dank der hilfe klappt das
Gruß monofone
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion prüfen, fehler erklären
an Gast: toll, das hätte ich auch schreiben können, nur so lernt man nichts. Ich glaube, du hast den Sinn des Boards nicht verstanden!
Gast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion prüfen, fehler erklären
Zitat:
Original von klarsoweit
nur so lernt man nichts.


Was Du da behauptest stimmt nicht!
In gewissen Situation geht es darum einen Formalismus einfach mal komplett zu sehen um ihn dann auf ähnliche Situationen übertragen zu können.
Die eigentliche Rechnung war hier doch gar nicht das Problem, sondern das Aufschreiben und das lernt man am besten durch ein Beispiel.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion prüfen, fehler erklären
Das wird aber nicht die erste Induktion gewesen sein, die monofone gesehen hat und deswegen ist es fraglich, ob ein zweites Beispiel noch so viel mehr bringt als das erste. Da hätte es doch mehr geholfen, das Ganze unter Anleitung selbst hinzukriegen.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nicht streiten unglücklich
liefern wir monofone doch einfach ein anderes einfaches beispiel, dass sie/er wenn gewünscht mit unserer hilfe lösen kann.

aufgabe: zeige, das für alle n aus IN durch 5 teilbar ist.

mfg jochen
monofone Auf diesen Beitrag antworten »

ich wollte hier mit meinem ersten posting nicht gleich grundlegende forumsdiskussionen auslösen smile

Ich werde zusehen das ich mich im laufe des Tages mit eurer Aufgabe mal versuche.

@klarsoweit
ja, in bezug auf die Formale aufstellung der Aufgabe ist der Nebel Lichter geworden. Wohingegen beim Induktionsschritt der Vorgang aber das Ziel nicht klarer geworden ist.

@gast
genau so etwas wollte ich sehen denn das kann ich mit dem vergleichen was ich hier habe.
Ich hab am ende auch stehen n^2+n + n+1 + n+1 was ja genau das ist was du auch dort stehen hast.
Woran erkenne ich dort jetzt das ich fertig bin? ist es das freistehende Auftreten von n+1 ? und wie erkenne ich das so ein beweis nicht funktioniert.

Und schon mal ein dickes DANKE für eure Hilfe
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von monofone
@klarsoweit
ja, in bezug auf die Formale aufstellung der Aufgabe ist der Nebel Lichter geworden. Wohingegen beim Induktionsschritt der Vorgang aber das Ziel nicht klarer geworden ist.

zum Induktionsschritt:
das Ziel ist, die Behauptung für n + 1 zu beweisen.
Dabei darf man voraussetzen, dass die Behauptung für n wahr ist.
Im allgemeinen setzt man also den Term n+1 in die Behauptung ein, formt so um, dass man die Induktionsvoraussetzung verwendet und muß dann zu einer wahren Aussage bzgl. der Behauptung kommen.
Ein kleines Bild:
Induktionsanker n=1 heißt: Der 1. Dominostein fällt um.
Induktionsschritt: Zeige: wenn der n.-te Dominostein umfällt, fällt auch der nächste um.
Wenn man, das hat, fallen logischerweise alle Dominosteine um.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

okay, ich sehe schon hier ist noch einmal grundlegender erklärungsbedarf der induktionsidee (ich bemühe mich, dass so verständlich wie möglich zu machen):


1. Induktionsanfang: zeige, dass es für n=1 (den ersten wert, manchmal auch n=2... je nach anforderung) klappt; sinn des IA wird später klar!


2. Induktionsannahme und Induktionsschritt:
wir nehmen an, unsere aussage gelte für ein n und zeigen mit hilfe damit, dass es dann auch für n+1 gilt.

also in deinem beispiel: du hast gegeben, dass die aussage für n gilt, also ist n²+n durch 2 teilbar.
jetzt zeigst du, dass die bedingung dann (heißt: wenn sie für n gilt) auch für n+1 gilt.

also hast du praktisch folgende aufgabenstellung:
gegeben: n²+n ist durch 2 teilbar;
zu zeigen: (n+1)²+(n+1) ist durch 2 teilbar
um das zu zeigen, formst du die rechte seite um....
(n+1)²+(n+1)=(n²+2n+1)+(n+1)=(n²+n)+2*(n+1) wie gesehen
und jetzt kannst du mithilfe der induktionsannahme zeigen, dass (n²+n)+2*(n+1) durch 2 teilbar ist, denn (n²+n) ist nach annahme durch 2 teilbar und 2*(n+1) selbstverständlich auch (2*(n+1) /2 =n+1).
und die summe von 2 durch 2 teilbaren zahlen ist auch durch 2 teilbar.....

dein beweis kann also nicht funktionieren, wenn du nicht die induktionsannahme als gegeben betrachtest.
du weißt bislang also nur: annahme korrekt für n=1; wenn man ein n findet für das es gilt, dann gilt es auch für n+1

und jetzt ist der rest einfach: es gilt für n=1, also auch für n=1+1=2;
damit gilt es für n=2, also auch für n=2+1=3;
damit gilt es für n=4, n=5,...... für alle n.


ich hoffe, du hast das induktionsprinzip jetzt verstanden, denn vollständige Induktion ist ein sehr wichtiges Beweisverfahren, das man können sollte.

falls noch unklarheiten (oder verlangen nach anderstypigen induktionsaufgaben) bestehen, melde dich nochmal....

mfg jochen
pumuckl Auf diesen Beitrag antworten »

Blödes Beispiel aus unserer LA-Vorlesung:

Ein Taschentuch ist ja ziemlich dünn. Wenn ich nun einen Koffer hab, kann ich also ohne größere Probleme ein Taschentuch hineinlegen, egal wie voll der Koffer ist. (1)
Nun der Beweis dass beliebig viele Taschentücher in einen Koffer passen:

Induktionsbeginn: Ein Taschentuch passt in den Koffer. (Also für n=1 gezeigt)

Induktions-Annahme: es passen n Taschentücher in den Koffern (n beliebig aus n)

Induktionsschritt:
Ich verwende als erstes die Annahme, es seien also n Taschentücher drin, und nach Satz (1) kann noch eins rein. Damit sind n+1 Taschentücher drin und der Schritt n -> n+1 ist gezeigt.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ist ja ganz nett pumuckl, aber das beispiel könnte monofone jetzt verwirren....
das ist nämlich etwas, das zwar total logisch klingt, aber wo induktion eben doch nicht angebracht (und anwendbar) ist....
das liegt natürlich daran, das nicht in jeden koffer eben noch ein taschentuch reingeht....

mfg jochen
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »