Gruppe Morphismus

Neue Frage »

16.11.2004, 16:43	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe Morphismus Für eine Gruppe G und $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} ig: G\Rightarrow G \end{eqnarray}$ der Morphismus definiert durch $\begin{eqnarray} x\Rightarrow gxg^{-1} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: (a) Die Abbildung ig ist injektiv. (b) die Abbildung ig ist bijektiv. (c) Die Abbildung $\begin{eqnarray} i: G\Rightarrow Aut G \end{eqnarray}$ , definiert durch $\begin{eqnarray} g\Rightarrow ig \end{eqnarray}$ , ist ein Morphismus von Gruppen. Da versteh ich irgendwie nicht wie das funktioniert
16.11.2004, 17:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität kann man so zeigen: Man nimmt man, man hätte zwei Gruppenelemente $\begin{eqnarray} x,x' \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i_g(x)=i_g(x') \end{eqnarray}$ , und folgert daraus: $\begin{eqnarray} x=x' \end{eqnarray}$ . Das ist hier nicht besonders schwer. Du mußt nur die Definition von $\begin{eqnarray} i_g \end{eqnarray}$ beachten.
16.11.2004, 19:55	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich verstehe leider nicht was gemeint ist Ich weiß das injektiv bedeutet das $\begin{eqnarray} f(a)=f(b)\Rightarrow a=b \end{eqnarray}$ Wo kommen jetzt die beiden Gruppenelemente her und wie verwende ich den Ausdruck $\begin{eqnarray} x\Rightarrow gxg^{-1} \end{eqnarray}$ bijektiv bedeutet doch injektiv (was in a bewiesen werden soll) und surjektiv oder? surjektiv bedeutet doch das es zu jedem $\begin{eqnarray} b\in N \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} a\in M \end{eqnarray}$ so das gilt $\begin{eqnarray} f(a)=b \end{eqnarray}$ ?
17.11.2004, 11:25	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
also wo ist dein problem bei der a)? zz. ig(x)=ig(y) => x=y also setzt du erst mal für ig(x) gxg^-1 ein, gleiches für y und formst das um bis da x=y steht..... also ich mache mal den anfang: gxg^-1=gyg^-1 <=> ...... <=> x=y kommst du hier nun weiter? zu b) ja du musst hier noch surjektivität zeigen. sei x beliebiges element aus G; du musst zeigen, dass zu jedem solchen x ein y aus G existiert mit gyg^-1=x.... welches y bietet sich denn da an?! existiert dieses für alle x?! zu c) Homomorphismus nachweisen..... also x,y aus G; verknüpfung der automorphismengruppe ist natürlich die komposition (°), also die hintereinanderausführung von abbildungen..... du musst jetzt also zeigen: i(xy)=i(x)°i(y) (homomorphismeneigenschaft)... zeige einfach, dass sie auf ein beliebiges element z (und damit alle elemente!) die gleiche wirkung haben... hoffe, jetzt wird's klarer.... viel spaß beim knobeln und is nicht schwer.... also ran an den speck! mfg jochen
17.11.2004, 19:33	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst mal Vielen Dank! Ich habe zumindest jetzt schon mal einiges verstanden. Ich habe bei a Probleme mit der Aufgabenstellung gehabt. Vielleicht weiß ich auch einfach noch zu wenig über einige Begriffe wie Gruppen und Abbildungen. Also ich nehme mal den Ansatz von Dir den ich verstanden habe. $\begin{eqnarray} ig(x)=ig(y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} gxg^{-1}=gyg^{-1} \end{eqnarray}$ Jetzt die Frage der Verknüpfung der Elemente, wie kann ich jetzt zeigen das $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ . Wenn ein * zwischen den Buchstaben steht ist das einfach. Dann teile ich einfach beide Seiten durch g und g^-1. Wenn ein + zwischen den Buchstaben steht wird halt g und g^-1 subtrahiert. und so komme ich zum Ergebnis. Oder ist auch dies möglich? $\begin{eqnarray} gg^{-1}=e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ex=x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ey=y \end{eqnarray}$ und daraus folgt halt das x=y??? zu b und c überlege ich noch mal ein wenig selber....
17.11.2004, 20:19	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
autsch.... wenn * steht dann teile ich das.... was ist denn teilen in dem sinne? aaaalso lass es mich so sagen: da du eine gruppe hast existiert zu jedem element ein inverses (völlig egal, was für ne verknüpfung!!) und das kannst du entweder von links oder von rechts an eine gleichung anknüpfen, ohne das die gleichheit verlorengeht. "teilen" bedeutet in dem sinne das multiplikative inverse anzuknüpfen, aber bei beliebigen verknüpfungen spricht man von sowas nicht..... so jetzt aber, was machst du also mit gxg^-1=gyg^-1 ? mfg jochen
Anzeige

17.11.2004, 20:35	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} gxg^{-1}=gyg^{-1} \end{eqnarray}$ von rechts mit g multiplizieren? $\begin{eqnarray} gxg^{-1}g=gyg^{-1}g \end{eqnarray}$ von links mit g^-1 multiplizieren? $\begin{eqnarray} g^{-1}gxg^{-1}g=g^{-1}gyg^{-1}g \end{eqnarray}$ da gg^-1=g^-1g=e ist und exe=x, eye=y folgt daraus x=y stimmt das?
17.11.2004, 20:50	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
röchtöch!
19.11.2004, 16:23	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
So jetzt mal zu (b) Ich muß noch zeigen das die Abbildung surjektiv ist also ich schreib mal was ich weiß: Die Frage ist doch folgende oder? Gibt es eine Zahl in G die durch gxg^-1 nicht erreicht wird? Wenn ja nicht surjektiv. Wenn nein surjektiv und somit bijektiv. $\begin{eqnarray} ig(x)=gxg^{-1} \end{eqnarray}$ Jetzt muß ich durch einsetzen auf der rechten Seite jedes x auf der linken Seite erreichen. $\begin{eqnarray} ig(x)=x \end{eqnarray}$ wäre der einfachste Fall wo das natürlich so ist ich weiß ja aber nur das $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$ und daher nicht welche Elemente überhaupt in der Gruppe sind natürlich sind in den identischen Gruppen auch die Elemente identisch aber wie genau mache ich jetzt den Anfang? und zu (c) i ist doch so zu verstehen das Elemente aus G Elementen aus Aut G zugeordnet werden, wobei Aut G ja wieder Zuornungen??? $\begin{eqnarray} i:G\rightarrow AutG \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g\Rightarrow ig \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ig:G\Rightarrow G \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\Rightarrow gxg^{-1} \end{eqnarray}$ kann man also sagen $\begin{eqnarray} i:G\Rightarrow (G\Rightarrow G) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g\Rightarrow (x\Rightarrow gxg^{-1}) \end{eqnarray}$ ?? Ich fang mal an $\begin{eqnarray} i(x\cdot y)=i(x)\circ i(y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} i_{xy} =i_x\circ i_y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} i_{xy}(z)=i_x(z)\circ i_y(z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} xyz(xy)^{-1}=(xz x^{-1})\circ(yzy^{-1}) \end{eqnarray}$ ist das richtig und welche Verknüpfung ist der Kreis? Da alles die gleichen Gruppen sind mach ich mal so weiter. $\begin{eqnarray} xyz(xy)^{-1}=xz x^{-1}yzy^{-1} \end{eqnarray}$ links x^-1 und rechts xy anknüpfen $\begin{eqnarray} x^{-1}xyz(xy)^{-1}xy=x^{-1}xz x^{-1}yzy^{-1}xy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} yz=z x^{-1}yzy^{-1}xy \end{eqnarray}$ jetzt noch links z^-1 und x und rechts y^-1 und x^-1 anküpfen $\begin{eqnarray} xz^{-1}yzy^{-1}x^{-1}=yzy^{-1} \end{eqnarray}$ und jetzt hört es schon wieder auf oder ist das schon das Ergebniss denn $\begin{eqnarray} yzy^{-1} \end{eqnarray}$ ist ja auf beiden Seiten zu finden
20.11.2004, 12:40	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Merlin, zu Surjektivität. f X -> Y heißt sujektiv, wenn: $\begin{eqnarray} \forall y\in Y\ \exists x\in X : y=f(x) \end{eqnarray}$ Und hier muss du jetzt deine Funktion einsetzen: $\begin{eqnarray} \forall y\in G \ \exists x\in G : y=i_g(x) \end{eqnarray}$ Das ist also zu Zeigen. Du nimmt jetzt also irgend ein Element aus der Gruppe, sagen wir mal y. Und jetzt musst du zeigen, dass es ein x gibt mit $\begin{eqnarray} y=i_g(x)=gxg^{-1} \end{eqnarray}$ Und, gibt es das? Und was würdest du für x vorschlagen? Gruß Anirahtak
20.11.2004, 16:53	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist es wenn ich sage y = e denn das neutrale Element muß ja in einer Gruppe vorhanden sein oder? $\begin{eqnarray} y=i_g(e)=geg^{-1} \end{eqnarray}$ da ge=e gilt $\begin{eqnarray} y=gg^{-1} \end{eqnarray}$ gg^-1=e daher $\begin{eqnarray} y=e \end{eqnarray}$ Hmm was bedeutet das denn jetzt? Nicht surjektiv? Wenn ich jetzt aber g einsetze dann sieht das so aus: $\begin{eqnarray} y=i_g(g)=ggg^{-1} \end{eqnarray}$ da gg^-1=e gilt $\begin{eqnarray} y=ge \end{eqnarray}$ ge=g daher $\begin{eqnarray} y=g \end{eqnarray}$ und was sagst ihr zu meinem Ansatz in (c)
20.11.2004, 17:11	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
nein du wählst y nicht fest; y ist ein beliebiges element (zu dem du nicghts weiter sagst, es ist ein vertreter für jedes element aus G) du willst zeigen, die abbildung ist surjektiv; dann musst du nur zeigen, dass für dein beliebiges y (und damit für alle elemente aus G) ein urbild z in G liegt. also zeigst du das gilt, das eben ein z mit der eigenschaft y=gzg^-1 in G liegt. tip: "löse das doch mal nach z auf" was steht denn dann da? liegt das element in G? mfg jochen
20.11.2004, 17:26	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y=gzg^{-1} \end{eqnarray}$ von links g^-1 und von rechts g anknüpfen? $\begin{eqnarray} g^{-1}yg=g^{-1}gzg^{-1}g \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g^{-1}yg=z \end{eqnarray}$ das Element g^-1yg liegt in G da $\begin{eqnarray} g\in G\Rightarrow g^{-1} \in G \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y\in G \end{eqnarray}$ richtig
20.11.2004, 17:52	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Und jetzt zu c: Der Ansatz stimmt, aber du formst falsch um: $\begin{eqnarray} (i_x\circ i_y)(x)=i_x(i_y(z))\neq i_x(z)\circ i_y(z) \end{eqnarray}$ Der "Kringel" bedeutet die Hintereinanderausführung der Abbildungen. Wenn du damit weiterrechnest, hast du das richtige Ergebnis gleich dastehen! Gruß Anirahtak
20.11.2004, 18:17	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt habe ich es glaube ich verstanden: $\begin{eqnarray} i_{xy}(z)=(i_x \circ i_y)(z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} i_{xy}(z)=i_x(i_y(z)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} xyz(xy)^{-1}=xyzy^{-1}x^{-1} \end{eqnarray}$ Das lässt sich jetzt so lange vereinfachen bis auf beiden Seiten nichts mehr steht ist das also richtig und wie schreib ich das 0=0 ?
22.11.2004, 19:48	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Merlin, ja so passt's. Und wegen dem Hinschreiben, mit 0=0 ist schon eine Möglichkeit, aber ich würde so machen $\begin{eqnarray} (i_x \circ i_y)(z)=i_x(i_y(z))=x(i_y(z))x^{-1}=xyzy^{-1}x^{-1}=xyz(xy)^{-1}=i_{xy}(z) \end{eqnarray}$ Dann ist's es schön übersichtlich und passt auch noch in eine Zeile Gruß Anirahtak
22.11.2004, 22:50	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Ich habe viel mehr gelehrnt, als wenn ich abgeschrieben hätte.
24.11.2004, 20:01	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte bitte. So sollte es ja auch sein! Gruß Anirahtak

Neue Frage »

Antworten »

Gruppe Morphismus

Verwandte Themen