Grenzwerte von Folgen

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KevinB Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte von Folgen
Hallo,

wäre nett wenn jemand mir sagen könnte was rauskommt oder ob meine Lösung stimmt:

Aufgabe: Grenzwert bestimmen

a) keine Lösung.



Aufgabe: Richtig oder falsch?

b) Jede beschränkte Folge ist konvergent! Lösung: Falsch, den es gilt: Eine Folge die beschränkt ist, kann konvergent sein, muss aber nicht.

c) Jede monoton wachsende Folge ist nach unten beschränkt! Lösung: Ich meine es stimmt, ich kann es aber nicht mathematisch begründen.

d) Jede konvergente Folge ist beschränkt! Lösung: Richtig, den es gilt: Eine Folge die nicht beschränkt ist, kann auch nicht konvergent sein.

Das Problem bei b) - d) ist, dass ich es nicht mit Beispielen begründen kann.

Über Hilfe würde ich mich freuen!
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte von Folgen
Hallo KevinB!

a) lim a_n = 8, den für n->unendlich strebt (1/2)^n -> 0.

b) Beispiel zu beschränkt und nicht konvergent: a_n := (-1)^n. Die Folge pendelt zwischen den Punkten -1 und +1 hin und her, ist also beschränkt, hat aber keinen Grenzwert(nur lim_sup und lim_inf).

c) Richtig. Du nimmst ein beliebiges n0 element |N und bildest die Menge der Folgenglieder {a_1...a_n0}. Diese Menge ist endlich und besitzt ein Minimum, dh. ist nach unten beschränkt.

d) Die Argumentation ist richtig. Beschränktheit ist eine notwendige Voraussetzung für die Konvergenz. Warum brauchst du ein Beispiel? Du kannst irgendeine konvergente Folge nehmen, zB die geometrische. Ich kenne eigentlich nur Gegenbeispiele, wenn es um die Widerlegung geht.

Konnte ich dir helfen?

mfg Heinz
KevinB Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte von Folgen
Zitat:
Original von yeti777
Hallo KevinB!

a) lim a_n = 8, den für n->unendlich strebt (1/2)^n -> 0.

b) Beispiel zu beschränkt und nicht konvergent: a_n := (-1)^n. Die Folge pendelt zwischen den Punkten -1 und +1 hin und her, ist also beschränkt, hat aber keinen Grenzwert(nur lim_sup und lim_inf).

c) Richtig. Du nimmst ein beliebiges n0 element |N und bildest die Menge der Folgenglieder {a_1...a_n0}. Diese Menge ist endlich und besitzt ein Minimum, dh. ist nach unten beschränkt.

d) Die Argumentation ist richtig. Beschränktheit ist eine notwendige Voraussetzung für die Konvergenz. Warum brauchst du ein Beispiel? Du kannst irgendeine konvergente Folge nehmen, zB die geometrische. Ich kenne eigentlich nur Gegenbeispiele, wenn es um die Widerlegung geht.

Konnte ich dir helfen?

mfg Heinz


a) Ausgerechnet wird es dann mit Epsylon, oder?

b) Danke, ich habs verstanden

c) Habe ich nicht verstanden

d) Habe ich auch verstanden

P.S. Natürlich konntest du mir helfen! Danke Rock
Gustav Auf diesen Beitrag antworten »

Zu c)

Was heißt denn monoton zunehmend? Es heißt für jedes gilt:



also hast du eine untere Schranke .

zu d)

Außerhalb einer -Umgebung liegen nur endlich viele Folgenglieder. Somit ist die Behauptung bewiesen.

[edit]

Weitere Aufgaben dieser Sorte:


Wahr oder falsch?
1. Ist eine Folge divergent, so ist konvergent.

2. Ist eine Folge konvergent, so ist divergent.
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gustav
zu d)

Außerhalb einer -Umgebung liegen nur endlich viele Folgenglieder. Somit ist die Behauptung bewiesen.


Außerhalb jeder -Umgebung liegen nur endlich viele Folgenglieder!
murray Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte von Folgen
a)


b)
Gegenbeispiel (für ... hat immer Grenzwert)
a(n)=sin(n)
o=1
u=1
aber kein grenzwert
 
 
auxilium Auf diesen Beitrag antworten »

müsste da nicht der grenzwert 8,5 sein?
weil 8,5 ist doch das max und 8 das min.
KevinB Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte von Folgen
Kann ich euere Lösungen so zusammenfassen:

a) = 8

b) Ist nicht zwangsläufig so. Bsp. (-1)^n

c) richtig, da gilt ist größer als , so muss die untere Schranke sein.

d) richtig, da außerhalb einer Epsylon-Umgebung nur endlich viele Folgenglieder sind.

Ist das so richtig?
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