Anwendung zu e-Funktion

17.11.2004, 16:31

beachboy

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Anwendung zu e-Funktion

Hi,

Mir fehlt mal wieder der Ansatz wie ich an diese Aufgabe gehen kann:

Die Bevölkerung eines Staates wachse entsprechend der Funktion N mit $\begin{eqnarray*} N(t)=No\cdot e^{a\cdot (t-to)} \end{eqnarray*}$

Dabei ist No= 120*10^6 die Anzahl der Einwohner im Jahr 2005

2005= to

und $\begin{eqnarray*} a= 0,03\frac{1}{Jahr} \end{eqnarray*}$ =Wachstumsrate

a)Wie groß wird die Bevölkerungszahl im Jahre 2010 sein?
b)Vor wie viel Jahren war die Bevöl.zahl halb so groß wie im Jahre 2005
c)Um wie viel % nimmt die Bevölk.zahl jährlich zu? Vergleichen sie mit der Wachstumsrate

Eigentlich ist ja alles gegeben, ich frage mich nur was t ist und was ich für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{Jahr} \end{eqnarray*}$ einsetzen muss???

lg
beach

*Update Funktion korrigiert

17.11.2004, 16:37

grybl

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RE: Anwendung zu e-Funktion
Kann es sein, dass die Funktion so $\begin{eqnarray*} N(t)=No\cdot e^{a\cdot (t-to)} \end{eqnarray*}$ ausschaut? verwirrt

verwirrt

17.11.2004, 16:38

beachboy

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ja genau wusst nur net wie ich das so hinbekomme !! vielen dank !

17.11.2004, 16:41

grybl

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RE: Anwendung zu e-Funktion
$\begin{eqnarray*} a= 0,03\cdot \frac{1}{Jahr} \end{eqnarray*}$ im Jahre 2010 würde ich so interpretieren: $\begin{eqnarray*} a= 0,03\cdot \frac{1}{2010} \end{eqnarray*}$

17.11.2004, 16:44

Jan

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kann es vielleicht sein, dass t und t0 jahreszahlen sind?
dann wäre das 1/jahr bei a nur die einheit.

17.11.2004, 16:50

beachboy

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Zitat:

Original von Jan
kann es vielleicht sein, dass t und t0 jahreszahlen sind?
dann wäre das 1/jahr bei a nur die einheit.

Glaube auch das es nur die Einheit ist... weil $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ is ja die Wachstumsrate

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17.11.2004, 16:55

Jan

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dann kann es aber nicht sein, dass t0 die einwohnerzahl im jahr 2005 ist, und das hast du am anfang geschrieben.

also, ich seh das so:

N0 = Zahl der Einwohner zur Zeit t0 = 120*10^16

t0 = Das Jahr 2005

und t ist die zeit in jahren.

17.11.2004, 16:58

Jan

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du bekommst damit:
$\begin{eqnarray*} N(t) = 120*10^{6}*e^{0,03*(t-2005)} \end{eqnarray*}$

um die einwohnerzahl in 2006 zu berechnen, setzt du für t einfach 2006 ein.

17.11.2004, 17:00

beachboy

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du hast vollkommen recht Augenzwinkern

Augenzwinkern

wenn ich nach t auflöse was hab ich dann?

lg
beach

17.11.2004, 17:07

beachboy

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Zitat:

Original von Jan
du bekommst damit:
$\begin{eqnarray*} N(t) = 120*10^{16}*e^{0,03*(t-2005)} \end{eqnarray*}$

um die einwohnerzahl in 2006 zu berechnen, setzt du für t einfach 2006 ein.

sieht das dann so aus?:

$\begin{eqnarray*} 2010 = 120*10^{6}*e^{0,03*(2010-2005)} \end{eqnarray*}$

17.11.2004, 17:12

beachboy

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oder stimmt das ??

$\begin{eqnarray*} N(2010) = 120*10^{6}*e^{0,03*(2010-2005)}=139429109.1 \end{eqnarray*}$

17.11.2004, 17:25

grybl

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dein letzter Post dürfte stimmen.

Kennst du die Edit-Funktion? Bitte vermeide in Zukunft Doppelposts. Vielleicht kannst du auch deinen letzten post ausbessern. Zwischen den latex-tags dürfen keine anderen tags stehen!

17.11.2004, 17:38

beachboy

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okay und wie muss ich jetzt bei Aufgabeb und c vorgehen?

lg
beach

17.11.2004, 17:46

grybl

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bei b) setzt du für N(t) die Hälfte der Bevölkerung des Jahres 2005 ein und berechnest dir dann das t. (Tipp: denk an den ln)

und c) versuch mal selbst zu überlegen

die Frage mit dem 1/Jahr ist mMn noch nicht geklärt. Gibt man Einheiten so an? verwirrt

verwirrt

17.11.2004, 18:17

beachboy

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$\begin{eqnarray*} 60\cdot 10^6 = 120\cdot 10^{6}\cdot e^{0,03\cdot (t-2005)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t = 50,135 \end{eqnarray*}$

is das richtig smile

smile

?

Kannst du mir noch nen Tipp zu c geben, komm net drauf komm mit diesen Prozentrechnungen net so klar unglücklich

unglücklich

lg
beach

17.11.2004, 18:21

grybl

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nein

unglücklich

Gleichung richtig, Lösung nicht.

das hieße ja dann, dass im Jahr 50 das so war? verwirrt

verwirrt

17.11.2004, 19:25

beachboy

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Zitat:

Original von grybl
nein unglücklich

unglücklich

Gleichung richtig, Lösung nicht.

das hieße ja dann, dass im Jahr 50 das so war? verwirrt

verwirrt

hm ne das es vor 50 jahren so war oder ??? wieso stimmt die net ... muss aber ! unglücklich

unglücklich

was hast du raus?

17.11.2004, 22:32

beachboy

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Kann mir viell. jemand noch nen Tipp zu Aufgabeteil C geben oder zu b falls das Ergebnis echt falsch ist!

lg
beach

18.11.2004, 07:41

Jan

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Zitat:

Original von grybl
die Frage mit dem 1/Jahr ist mMn noch nicht geklärt. Gibt man Einheiten so an? verwirrt

verwirrt

in diesem fall bleibt einem gar nichts anderes übrig. t hat ja die einheit 1 jahr. N(t) soll aber am ende dimensionslos sein. also muss man die einheit "1 jahr" irgendwie "rauskürzen", und das macht man, indem man mit dem faktor "1/1 jahr" multipliziert.
in der schule würde man das problem wahrscheinlich einfach so umgehen, dass man sagt: "rechne ohne einheiten". war jedenfalls bei uns immer so Big Laugh

Big Laugh

18.11.2004, 08:04

Jan

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und jetzt noch mal zu den beiden anderen aufgabenteilen.

bei b) kommt raus (wenn man die von dir gepostete gleichung richtig auflöst):
$\begin{eqnarray*} t = -ln(2)*\frac{100}{3} + 2005 = 1981,8950... \end{eqnarray*}$
also im jahr 1981, das war vor 23 jahren.

und bei c) betrachtet man die bevölkerungszahlen von zwei beliebigen aufeinanderfolgenden jahren, z.b. $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_1 + 1 \end{eqnarray*}$ . du willst das verhältnis dieser beiden (also den quotienten) bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \frac{N(t_1 + 1)}{N(t_1)} = \frac{N_0*e^{a(t_1 + 1 - t_0)}}{N_0*e^{a(t_1 - t_0)}} = e^{a(t_1 + 1 - t_0) - a(t_1 - t_0)} = e^{a} \end{eqnarray*}$
dann setzt du für a den bekannten wert ein und erhältst:
$\begin{eqnarray*} \frac{N(t_1 + 1)}{N(t_1)} = e^{0,03} = 1,03045... \end{eqnarray*}$
also wird die bevölkerungszahl in jedem jahr mit dem faktor 1,03045... multipliziert, das heißt es kommt immer das 0,03045...-fache dazu. die zunahme beträgt also ca. 3,045 %.

grüße,
JAN

18.11.2004, 17:40

grybl

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@beachboy:

Zitat:

zu b falls das Ergebnis echt falsch ist!

warum bezweifelst du das? verwirrt

verwirrt

traurig

@jan: ist klar mit dem 1/Jahr, nur eine äußerst doofe Formulierung Hammer

Hammer

bitte nicht unbedingt den gesamten Lösungsweg posten. Der Fragestellesr sollte seine math. Hirnwindungen auch ein bisschen anstrengen müssen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.11.2004, 18:56

beachboy

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Danke an euch zwei !!!! Hab das gestern jedoch beides noch alleine hinbekommen und auch mein Rechenfehler entdeckt bei b Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber gut denn so konnt ich jetzt kontrollieren ob meine Ergebnise richtig sind und ja das sind sie *g* DANKE :-)

19.11.2004, 14:16

Jan

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Zitat:

"aber gut denn so konnt ich jetzt kontrollieren ob meine Ergebnise richtig sind"

@grybl: dafür war's gedacht smile

smile

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