Ellipse: Herleitung der Spaltform der Tangentengleichung

10.04.2007, 17:27

Dionne

Ellipse: Herleitung der Spaltform der Tangentengleichung

Hallo, ich wieder =)

Ich habe Schwierigkeiten bei der Herleitung der Spaltform der Tangentengleichung.

g: (y-yt) = k * (x-xt)
k = - (b² * xt) / (a² * yt)

Wenn ich k in g einsetze, ausmultipliziere und alles mal (a² * yt) nehme um den Bruch los zu werden erhalte ich:

-b²xxt + b²xt² = a²yyt - a²yt²

b²xxt + a²yyt = a²yt² + b²xt²

Das kommt schon nahe an das richtige Ergebnis hin, aber wie werde ich yt² und xt² los? Oder habe ich vorher schon einen Fehler gemacht?

10.04.2007, 17:36

riwe

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RE: Ellipse: Herleitung der Spaltform der Tangentengleichung

Zitat:

Original von Dionne
Hallo, ich wieder =)

Ich habe Schwierigkeiten bei der Herleitung der Spaltform der Tangentengleichung.

g: (y-yt) = k * (x-xt)
k = - (b² * xt) / (a² * yt)

Wenn ich k in g einsetze, ausmultipliziere und alles mal (a² * yt) nehme um den Bruch los zu werden erhalte ich:

-b²xxt + b²xt² = a²yyt - a²yt²

b²xxt + a²yyt = a²yt² + b²xt²

Das kommt schon nahe an das richtige Ergebnis hin, aber wie werde ich yt² und xt² los? Oder habe ich vorher schon einen Fehler gemacht?

nein,

der term rechts = $\begin{eqnarray*} a²b² \end{eqnarray*}$ , da der punkt auf der ellipse liegt.
werner

10.04.2007, 17:45

Dionne

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Heißt das, dass ich xt² und yt² einfach wegfallen lassen darf?!?

10.04.2007, 17:49

riwe

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NEIN, aber
$\begin{eqnarray*} T(x_t/y_t) \end{eqnarray*}$ liegt doch auf der ellipse, daher gilt
$\begin{eqnarray*} x²_tb²+y²_ta² = a²b² \end{eqnarray*}$
daher kannst du das für die rechte seite deiner gleichung einsetzen
werner

10.04.2007, 18:01

Dionne

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Tut mir leid, aber ich verstehe nicht, warum das so ist unglücklich

10.04.2007, 18:10

riwe

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Zitat:

Original von Dionne
Tut mir leid, aber ich verstehe nicht, warum das so ist unglücklich

bei dir steht doch:

$\begin{eqnarray*} b²xx_t + a²yy_t = a²y_t² + b²x_t² \end{eqnarray*}$

das hast du selbst geschrieben, also nehme ich an, das verstehst du.

und der punkt T liegt auf der ellipse, also gilt auch - wie für jeden anderen ellipsenpunkt:

$\begin{eqnarray*} b²x²_t+a²y²_t=a²b² \end{eqnarray*}$

verstehst du das verwirrt

und das kombiniert ergibt

$\begin{eqnarray*} b²xx_t + a²yy_t = a²y_t² + b²x_t²=a²b² \end{eqnarray*}$
und damit

$\begin{eqnarray*} b²xx_t + a²yy_t = a²b² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a + b = c + d \quad{ }c+d=3\to a+b\quad{ }\text{auch}\quad{ }=3 \end{eqnarray*}$
besser verwirrt

werner

10.04.2007, 18:36

Dionne

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$\begin{eqnarray*} b²x²_t+a²y²_t=a²b² \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht, wie man einfach sagen kann, dass das das selbe ist =/
Ich kann zwar akzeptieren, dass es so ist, aber ich muss ein Referat darüber halten und meine Mitschüler werden mich sicher fragen wie ich darauf komme...

10.04.2007, 19:08

riwe

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Zitat:

Original von Dionne
$\begin{eqnarray*} b²x²_t+a²y²_t=a²b² \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht, wie man einfach sagen kann, dass das das selbe ist =/
Ich kann zwar akzeptieren, dass es so ist, aber ich muss ein Referat darüber halten und meine Mitschüler werden mich sicher fragen wie ich darauf komme...

man sagt es nicht einfach. es ist so.
du siehst mich ziemlich ratlos.

wenn a = b und b = c , dann ist auch a = c

da hast du natürlich recht, das muß man akzeptieren, oder du bastelst neue axiome.

mache dir doch das ganze an einem konkreten beispiel klar.
zb.
$\begin{eqnarray*} x²+2y²=3 \quad{ } T(1/1) \end{eqnarray*}$
wie du berechnet hast:

$\begin{eqnarray*} xx_t+2yy_t=x²_t+2y²_t \end{eqnarray*}$

T(1/1) (nur links) einsetzen

$\begin{eqnarray*} x+2y=x²_t+2y²_t \end{eqnarray*}$

und jetzt frage ich dich: welchen wert hat

$\begin{eqnarray*} x²_t+2y²_t =???\quad{ }\forall \quad{ }T(x_t/y_t)\in (x²+2y²=3) \end{eqnarray*}$

oder vielleicht erbarmt sich mythos unser/deiner verwirrt

werner

10.04.2007, 21:36

Dionne

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Der Wert ist 3 Hammer

Das Beispiel erklärt mir aber nicht warum $\begin{eqnarray*} b²x²_t+a²y²_t=a²b² \end{eqnarray*}$ unglücklich

10.04.2007, 23:28

mYthos

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Zitat:

Tja, ich will es auch nochmals formulieren: Es gibt einen - könnte man sagen - Fundamentalsatz:

Wenn ein Punkt $\begin{eqnarray*} P(x_1;y_1) \end{eqnarray*}$ auf einer Kurve liegt, so müssen seine Koordinaten die Kurvengleichung erfüllen. Die Kurvengleichung sei $\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} f(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ , dann muss auch gelten: $\begin{eqnarray*} y_1 = f(x_1) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x_1,y_1) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Nun mit einem Beispiel:

2x - 3y = 2 ist die Gleichung einer Geraden. Frage: Liegt der Punkt P(10;6) auf der Geraden? Antwort: Ja, denn wenn man seine Koordinaten in die Gleichung einsetzt, erhalten wir die Identität

$\begin{eqnarray*} 20 - 18 = 2 \end{eqnarray*}$ (d. i. eine wahre Ausage, linke Seite = rechte Seite).

Das Gleiche passiert bei der Ellipse $\begin{eqnarray*} b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2 \end{eqnarray*}$ und dem Punkt $\begin{eqnarray*} T(x_t;y_t) \end{eqnarray*}$ .

WEIL der Punkt T auf der Ellipse liegt, müssen seine Koordinaten - in die Ellipsengleichung eingesetzt - diese zu einer Identität machen: Linke Seite = Rechte Seite!!

Daher gilt:

$\begin{eqnarray*} b^2x_t^2 + a^2y_t^2 = a^2b^2 \end{eqnarray*}$

Im Prinzip hat werner eigentlich genauso erklärt, anders bzw. besser geht es eigentlich kaum. Hoffentlich hat's jetzt endlich gefunkt!

mY+

10.04.2007, 23:30

riwe

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Zitat:

Original von Dionne
Der Wert ist 3 Hammer

Das Beispiel erklärt mir aber nicht warum $\begin{eqnarray*} b²x²_t+a²y²_t=a²b² \end{eqnarray*}$ unglücklich

vielleicht benutzt du auch einmal den kopf:
$\begin{eqnarray*} b²=1, x_t=1;a²=2,y_t=1 \end{eqnarray*}$

und sonst verwirrt

werner

@hallo mythos: das hat sich überschnitten.
meine "weisheit" ist am ende

05.04.2012, 16:40

150ml_

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Hallo!

Mir ist zwar klar, dass
a²yt² + b²xt² = a²b²

aber wieso kann man die Geradengleichung folgendermaßen anschreiben:

g: (y-yt) = k * (x-xt)

eigentlich ist die doch

g: y = kx + d ???

danke schon mal Augenzwinkern

05.04.2012, 20:00

mYthos

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Die obere Gleichung stellt nur eine andere Schreibweise dar.
Sie ermöglicht die umgehende Berechnung der Geradengleichung aus der Steigung k und einem auf der Geraden liegenden Punkt P(xt; yt). Deshalb wird sie auch "Punkt-Richtungsform" genannt.

mY+

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