Aufgabe zur Gleichverteilung II

10.04.2007, 18:18

schlomo76

Aufgabe zur Gleichverteilung II

Seien $\begin{eqnarray*} Z_1,\dots,Z_{300} \end{eqnarray*}$ zufällige auf dem Intervall[0,10] gleichverteilte, reelle Zahlen, $\begin{eqnarray*} Z_i \sim R(0,10) \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{300} Z_i \end{eqnarray*}$ deren Summe. Die Summanden $\begin{eqnarray*} Z_i \end{eqnarray*}$ seien in üblicher Weise auf ganze Zahlen gerundet. Die gerundeten Werte seien mit $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

a) geeignetes Modell für den zufälligen Rundungsfehler

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Summe der gerundeten Werte um weniger als 10 von der wahren Summe abweicht.

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die (ungerundete) Summe Z kleiner als 1400 ist?

zu a) also als Idee hätte ich die Vorstellung, daß ich bei 300 Zahlen, 30 zwischen zwei Zahlen befinden und jeweils 15 auf bzw. abgerundet werden. Wie ich dann aber weiter mache, das weiß ich noch nicht.

10.04.2007, 19:07

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Zitat:

Original von schlomo76
zu a) also als Idee hätte ich die Vorstellung, daß ich bei 300 Zahlen, 30 zwischen zwei Zahlen befinden und jeweils 15 auf bzw. abgerundet werden.

Kann sein, dass du hier das richtige meinst, aber so kann man es auf keinen Fall ausdrücken. Zudem ist es nur eine qualitative Aussage, keine quantitative...

Was du brauchst, ist die stochastische Verteilung des Rundungsfehlers $\begin{eqnarray*} R_i := Z_i-X_i \end{eqnarray*}$ . Diese Zufallsgröße nimmt Werte im Intervall $\begin{eqnarray*} \left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right] \end{eqnarray*}$ an. Die naheliegende Vermutung, dass $\begin{eqnarray*} R_i \end{eqnarray*}$ stetig gleichverteilt auf diesem Intervall ist, stimmt tatsächlich, ist natürlich noch nachzuweisen! Das wäre dann a).

Zu b): Kriegt man mit a) in den Griff, denn es geht hier um die Verteilung der Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{300} R_i \end{eqnarray*}$ , und hier kann man den ZGWS anwenden, der Approximationsfehler der entstehenden Normalverteilung ist hierbei verschwindend gering.

Zu c): Selbstverständlich auch ZGWS, diesmal direkt für die Summe der $\begin{eqnarray*} Z_i \end{eqnarray*}$ .

11.04.2007, 20:06

schlomo76

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zu b)

also gehe ich wie folgt vor:

$\begin{eqnarray*} P(\sum_{i=1}^{300} R_i<\varepsilon)=P(\sqrt{n}\sum_{i=1}^{300} R_i/ n<\sqrt{n}\varepsilon/n)=P(\sqrt{n}\bar{R}<\frac{\sqrt{n}\varepsilon}{n})\approx \Phi(\frac{\sqrt{n}\varepsilon}{n}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi(\frac{\sqrt{300}\cdot 10}{300})=\Phi(0,577)=0,7 \end{eqnarray*}$

?

11.04.2007, 22:21

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Bei dieser Rechnung scheinst du einfach $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(R_i)=1 \end{eqnarray*}$ anzunehmen - da liegst du falsch. Rechne doch erstmal den tatsächlichen Wert von $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(R_i) \end{eqnarray*}$ aus, bevor du dich auf den ZGWS stürzt.

12.04.2007, 09:18

schlomo76

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Gut.

Im Intervall $\begin{eqnarray*} \left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right] \end{eqnarray*}$
gilt: $\begin{eqnarray*} var(R_i)=\frac{(b-a)}{12}=\frac{(\frac{1}{2}--\frac{1}{2})}{12}=\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

aber wie gehört die denn noch in die Gleichung?

So? $\begin{eqnarray*} P(\frac{\sum_{i=1}^{300} R_i}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\cdot n}<\frac{\sqrt{n}\varepsilon}{\sigma n}) \end{eqnarray*}$ :

EDIT: sigma noch richtig gestellt

12.04.2007, 11:26

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Na was ist denn $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ? Nichts weiter als $\begin{eqnarray*} \sigma = \sqrt{\operatorname{var}(R_i)} = \frac{1}{\sqrt{12}} \end{eqnarray*}$ .

13.04.2007, 01:47

schlomo76

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Jo, alles klar!

$\begin{eqnarray*} \Phi(\frac{\sqrt{300}\cdot 10}{300\frac{1}{\sqrt{12}}})=\Phi(\frac{\sqrt{12}\cdot 10}{\sqrt{300}})=\Phi(2)=0,9772 \end{eqnarray*}$

13.04.2007, 09:00

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Soweit ganz gut und richtig. Allerdings solltest du die Aufgabenstellung b) nochmal genau durchdenken: Wenn von maximaler Abweichung 10 die Rede ist, dann ist diese Abweichung sowohl nach oben als auch nach unten gedacht...

13.04.2007, 13:14

Enigmation

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Die Abweichung nach oben und unten müsste man doch so in den Griff bekommen:

$\begin{eqnarray*} \epsilon=\Phi(\frac{\sqrt{300}\cdot 10}{300\frac{1}{\sqrt{12}}})-\Phi(-\frac{\sqrt{300}\cdot 10}{300\frac{1}{\sqrt{12}}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \epsilon=2\cdot \Phi(\frac{\sqrt{12}\cdot 10}{\sqrt{300}})-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \epsilon=2\cdot\phi(2)-1 \end{eqnarray*}$
NebenRechnung: $\begin{eqnarray*} \phi(2)=0,9772 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \epsilon=2\cdot 0,9772-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \epsilon=0,9544 \end{eqnarray*}$

13.04.2007, 14:22

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Genauso. Kritisieren muss ich nur die Symbolwahl $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ , da schlomo76 oben bereits ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ mit völlig anderer Bedeutung verwendet hatte. Augenzwinkern

13.04.2007, 17:05

Enigmation

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Na dann ohne Epsilon.

$\begin{eqnarray*} P(|Z-X|<10)=\Phi(\frac{\sqrt{300}\cdot 10}{300\frac{1}{\sqrt{12}}})-\Phi(-\frac{\sqrt{300}\cdot 10}{300\frac{1}{\sqrt{12}}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2\cdot \Phi(\frac{\sqrt{12}\cdot 10}{\sqrt{300}})-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2\cdot\phi(2)-1 \end{eqnarray*}$
NebenRechnung: $\begin{eqnarray*} \phi(2)=0,9772 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2\cdot 0,9772-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =0,9544 \end{eqnarray*}$

Nun zu c)
Die Aufgabe ist P(Z<1400) zu berechnen. Mit dem ZGWS.

13.04.2007, 21:03

Enigmation

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mein Lösungsvorschlag:
c)
$\begin{eqnarray*} P(\bar{Z}<1400)=P(\frac{\frac{Z}{n}-\mu}{ \frac{\sigma}{\sqrt{n}}} < \frac{\frac{1400}{n}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}) \end{eqnarray*}$

Nebenrechnung:
$\begin{eqnarray*} \bar{Z}=\frac{Z}{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{Var(Z)}=\sqrt{\frac{(b-a)^2}{12}}= \sqrt{\frac{(10-0)^2}{12}}=\sqrt{\frac{100}{12}}= \sqrt{\frac{25}{3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mu=\frac{10 + 0}{2}=5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=300 \end{eqnarray*}$
und eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} P(\frac{\frac{Z}{n}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} < \frac{(\frac{1400}{300}-5)\cdot \sqrt{300} \cdot \sqrt{3}}{ \sqrt{25}}) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} P(\frac{\frac{Z}{n}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}) \end{eqnarray*}$ zur Normalverteilung läuft, betrachten wir den anderen Term:

$\begin{eqnarray*} \phi(\frac{-\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{300}}{\sqrt{25}}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi(-\frac{1}{3}\cdot 6) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi(-2)=1-\phi(2)=1-0,9772=0,0228 \end{eqnarray*}$

16.04.2007, 21:06

schlomo76

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Stimmt das, was sich Enigmation da ausgedacht hat?

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