Anwendung zu e-Funktion |
18.11.2004, 16:54 | beachboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Anwendung zu e-Funktion Hab mal wieder ne Frage zu ner Anwendung der e-Funktion. Folgende Aufgabe: Im Jahr 1998 hatten die USA 270,3 Mio. Einwohner, Mexiko hatte in diesem Jahr 95,8 Mio. Einwohner. Das jährliche Bevölkerungswachstum betrug für die USA in den letzten Jahren durchschnittlich 1,1 %, für Mexiko 2%. (Es sei als konstant unterstellt). a)Bestimmen Sie jeweils die Bevölkerungszahl in Abhängigkeit von der Zeit. Stellen Sie die Wachstumsfunktion grafisch dar. So wie kann ich da vorgehen? ich weiß das: Wachstumsfunktion: No ist für USA=270,3 Mio. No ist für Mexiko= 95,8 Mio. to = müsste 1998 sein doch was muss ich für a einstetzen? ist das der Wachstum pro Jahr 1.1 % bzw. bei Mexiko 2% ?? also muss ich dann von 270,3 1.1% ausrechen un das für a nehmen??? hoffe mir kann jemand helfen! lg beach |
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18.11.2004, 17:38 | rad238 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eigentlich musst Du die Bevölkerungszahl ja jedes Jahr einmal mit der Wachstumsrate bzw. multiplizieren. Dann wäre Das lässt sich noch in eine e-Fkt. umschreiben, wobei dann auch ein Faktor "a" entsteht. Tip: Wie groß ist dann Dein "a"? Kannst Du das aus der Wachstunsrate "p" ausrechnen? |
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18.11.2004, 19:02 | beachboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also hab jetzt nicht ganz verstanden auf was du hinauswillst! Geht das dann nicht so als Funktion ich ersetz einfach a durch p: meinst du mit p in ne e Funktion so: ??? lg beach |
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18.11.2004, 19:37 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich denke, mit p = jährliches Bevölkerungswachstum, gilt N(t) = N0*(1+p)^(t-t0) dies kann verglichen werden mit der Wachstumsfunktion in der Form N(t) = N0*e^(a*(t-t0)) und daraus kann dann a ermittelt werden |
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18.11.2004, 19:47 | rad238 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Äh, ja... Das p entspricht dem x und das (t-1998) entspricht dem y. Aber das p ist natürlich 1+1,1% = 1,011 bzw. 1+2%=1,02. Sorry! Ich ändere das gleich oben... Oder nee man nimmt halt 1+p, wie Etzwane schon vorschlug. Das ist auch schön! Also: |
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18.11.2004, 20:05 | beachboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also und wie rechne ich jetzt a aus, oder muss man das überhaupt? Geht nicht auch diese Funktion um die Aufgabe zu lösen?? |
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18.11.2004, 20:14 | rad238 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da ist ein Multiplikationspunkt zu viel in Deiner Formel (zwischen ln und Klammer). Du weißt doch, was ln ist!? Das ist der natürliche Logaritmus und die Umkehrfunktion von der e-Fkt. Das muss dann also so: oder so: Und das a ist dann a=ln(1+p). Ob Du das nun a nennst, oder ln(1+p), ändert nichts. |
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18.11.2004, 20:24 | beachboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh stimmt war keine Absicht Also is diese Funktion nun die Lösung zu Aufgabe a) und die kann ich jetzt so in GTR eingeben halt statt t = x oder ? kannst du mir nochmal kurz erläutern wieso dieses ln jetzt ins spiel kam? Dann noch ne Frage Aufgabe b) lautet: Berechnen sie die Verdopplungszeiten! Was is damit gemeint und wie muss ich vorgehen? muss ich da und dann das t dafür ausrechnen ? thx for help ! lg beach |
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18.11.2004, 20:38 | rad238 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie kommt das ln ins Spiel? Das ist ja die Umkehrfunktion von der e-Funktion. Es gilt also: . Dann gilt natürlich auch: . Außerdem gilt: . Also: . Wenn das x = (1+p) und das y = (t-1998), dann folgt mit diesen Sätzen Deine Gleichung (s.o.). Ich dachte, Du wolltset eine e-Funktion. Darum habe ich die Exponentialfunktion in eine e-Funktion umgewandelt. Das ändert aber eigentlich nichts. Zu b) Ja genau, da musst Du das N(t) = 2 * N_0 setzen... bzw. die Verdopplungszeit ist ja allgemein Für welches ist die e-Fkt. ? |
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18.11.2004, 20:53 | beachboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay danke dann wäre das geklärt kannst du mir auch noch nen Tip zu Aufgabe c) geben?: c)Wann wird (bei unveränderter Wachstumsrate) die Einwohnerzahl der USA nur noch doppelt so groß sein wie die von Mexiko?? wie kann ich das denn ausrechnen ? lg beach |
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18.11.2004, 21:16 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schreib einmal die Gleichung auf für N(t) für USA und einmal für N(t) für Mexiko. Jetzt soll sein N(t) für USA doppelt (=2 mal) so groß wie N(t) für Mexiko. Das ergibt eine Bestimmungsgleichung für t. |
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18.11.2004, 21:38 | beachboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
WAs genau is denn eine Bestimmungsgleichung muss ich die dann gleichsetzen oder wie rechne ich dann das t aus ??? oder muss ich die beiden in eine Funktion setzen ? Nochmal zu Aufgabe b) Wie kann ich denn das nach t auflösen: was kann ich denn für N(t) schreiben brauch ja irgendwas auf der linken Seite oder?? lg beach |
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18.11.2004, 21:49 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
denke an "doppelt", also die Bestimmungsgleichung ist N(t)(für USA) = 2*N(t)(für Mexiko) |
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18.11.2004, 21:58 | beachboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
so dann?: bloß wie lös ich da nach t auf ? sieht das so aus wenn ich "e" wegmache: |
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18.11.2004, 22:35 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja, so ungefähr, aber du solltest sorgfältiger Klammern setzen. Und dann ist da noch 1+1,1% = 1,011 sowie 1+2% ist 1,02 ! Damit du mit deiner Rechnung vergleichen kannst: 270,3*10^6*e^(ln(1,011)*(t-1998)) = 2 * 95,8*10^6*e^(ln(1,02)*(t-1998)) auf beiden Seiten schon mal durch 10^6 geteilt und dann die Logarithmen genommen, ergibt ln(270,3) + ln(1,011)*(t-1998) = ln(2*95,8) + ln(1,02)*(t-1998) und damit t-1998 = [ln(270,2)-ln(2*95.8)]/[ln(1,02)-ln(1,011)] t = ? (bin zu faul zum Rechnen) Ich hoffe, ich habe mich nicht verschrieben, aber ich denke, du hast die Lösung sowie schon raus. |
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18.11.2004, 22:47 | beachboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke bin echt froh über deine Hilfe hab 2036,82 raus hoffe das stimmt kannst du mir noch bei b) helfen komm da nicht weiter s.o. lg beach |
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19.11.2004, 12:30 | beachboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay hab jetzt halt b mit GTR gerechnet un hat alles gestimmt! Echt vielen Dank für eure Hilfe !!!!!! lg beach |
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19.11.2004, 19:04 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Damit dürfte gemeint sein, innerhalb welcher Zeit sich die Bevölkerung verdoppelt. Du hast ja für jedes Land die Funktion für die Bevölkerungsentwicklung N(t) = N0*........ Für 1998 z.B. ist die Bevölkerung N0 groß. Die Bevölkerung ist doppelt so groß, wenn N(t) = 2*N0 ist. Daraus kannst du für jedes Land den Zeitpunkt t bestimmen, wann die Bevölkerung sich verdoppelt hat. Was ist dann wohl der Verdoppelungszeitraum ? |
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19.11.2004, 19:40 | beachboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na die Jahre in denen sich die Verdopplung abspielt ?? |
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