Anwendung zu e-Funktion

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beachboy Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendung zu e-Funktion
Huhu,

Hab mal wieder ne Frage zu ner Anwendung der e-Funktion. Folgende Aufgabe:

Im Jahr 1998 hatten die USA 270,3 Mio. Einwohner, Mexiko hatte in diesem Jahr 95,8 Mio. Einwohner. Das jährliche Bevölkerungswachstum betrug für die USA in den letzten Jahren durchschnittlich 1,1 %, für Mexiko 2%. (Es sei als konstant unterstellt).

a)Bestimmen Sie jeweils die Bevölkerungszahl in Abhängigkeit von der Zeit. Stellen Sie die Wachstumsfunktion grafisch dar.

So wie kann ich da vorgehen? ich weiß das:

Wachstumsfunktion:

No ist für USA=270,3 Mio.
No ist für Mexiko= 95,8 Mio.

to = müsste 1998 sein

doch was muss ich für a einstetzen? ist das der Wachstum pro Jahr 1.1 % bzw. bei Mexiko 2% ?? also muss ich dann von 270,3 1.1% ausrechen un das für a nehmen???

hoffe mir kann jemand helfen!

lg
beach
rad238 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich musst Du die Bevölkerungszahl ja jedes Jahr einmal mit der Wachstumsrate bzw. multiplizieren.
Dann wäre



Das lässt sich noch in eine e-Fkt. umschreiben, wobei dann auch ein Faktor "a" entsteht.
smile
Tip:


Wie groß ist dann Dein "a"?
Kannst Du das aus der Wachstunsrate "p" ausrechnen?
beachboy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rad238
Eigentlich musst Du die Bevölkerungszahl ja jedes Jahr einmal mit der Wachstumsrate bzw. multiplizieren.
Dann wäre



Das lässt sich noch in eine e-Fkt. umschreiben, wobei dann auch ein Faktor "a" entsteht.
smile
Tip:


Wie groß ist dann Dein "a"?
Kannst Du das aus der Wachstunsrate "p" ausrechnen?


Also hab jetzt nicht ganz verstanden auf was du hinauswillst! Geht das dann nicht so als Funktion ich ersetz einfach a durch p:



meinst du mit p in ne e Funktion so:




???

lg
beach
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

ich denke, mit p = jährliches Bevölkerungswachstum, gilt N(t) = N0*(1+p)^(t-t0)

dies kann verglichen werden mit der Wachstumsfunktion in der Form N(t) = N0*e^(a*(t-t0))

und daraus kann dann a ermittelt werden
rad238 Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh Äh, ja...

Das p entspricht dem x und das (t-1998) entspricht dem y.



Aber das p ist natürlich 1+1,1% = 1,011 bzw. 1+2%=1,02. Hammer Sorry! Ich ändere das gleich oben...

Oder nee man nimmt halt 1+p, wie Etzwane schon vorschlug. Das ist auch schön!
Also:

beachboy Auf diesen Beitrag antworten »

Also und wie rechne ich jetzt a aus, oder muss man das überhaupt? Geht nicht auch diese Funktion um die Aufgabe zu lösen??



 
 
rad238 Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist ein Multiplikationspunkt zu viel in Deiner Formel (zwischen ln und Klammer). Du weißt doch, was ln ist!? Das ist der natürliche Logaritmus und die Umkehrfunktion von der e-Fkt.
Das muss dann also so:


oder so:


Und das a ist dann a=ln(1+p). Ob Du das nun a nennst, oder ln(1+p), ändert nichts. Augenzwinkern
beachboy Auf diesen Beitrag antworten »

Oh stimmt war keine Absicht Augenzwinkern

Also is diese Funktion nun die Lösung zu Aufgabe a)

und die kann ich jetzt so in GTR eingeben halt statt t = x oder smile ?



kannst du mir nochmal kurz erläutern wieso dieses ln jetzt ins spiel kam?

Dann noch ne Frage Aufgabe b) lautet: Berechnen sie die Verdopplungszeiten!

Was is damit gemeint und wie muss ich vorgehen? muss ich da und dann das t dafür ausrechnen ?

thx for help !

lg
beach
rad238 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommt das ln ins Spiel?
Das ist ja die Umkehrfunktion von der e-Funktion. Es gilt also:

.

Dann gilt natürlich auch:

.

Außerdem gilt:

.

Also:

.

Wenn das x = (1+p) und das y = (t-1998), dann folgt mit diesen Sätzen Deine Gleichung (s.o.).
Ich dachte, Du wolltset eine e-Funktion. Darum habe ich die Exponentialfunktion in eine e-Funktion umgewandelt. Das ändert aber eigentlich nichts.

Zu b)
Ja genau, da musst Du das N(t) = 2 * N_0 setzen...
bzw. die Verdopplungszeit ist ja allgemein

Für welches ist die e-Fkt. ?
beachboy Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke dann wäre das geklärt Augenzwinkern

kannst du mir auch noch nen Tip zu Aufgabe c) geben?:

c)Wann wird (bei unveränderter Wachstumsrate) die Einwohnerzahl der USA nur noch doppelt so groß sein wie die von Mexiko??

wie kann ich das denn ausrechnen ?

lg
beach
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib einmal die Gleichung auf für N(t) für USA und einmal für N(t) für Mexiko.

Jetzt soll sein N(t) für USA doppelt (=2 mal) so groß wie N(t) für Mexiko.

Das ergibt eine Bestimmungsgleichung für t.
beachboy Auf diesen Beitrag antworten »

WAs genau is denn eine Bestimmungsgleichung muss ich die dann gleichsetzen oder wie rechne ich dann das t aus ??? oder muss ich die beiden in eine Funktion setzen ?

Nochmal zu Aufgabe b)

Wie kann ich denn das nach t auflösen:



was kann ich denn für N(t) schreiben brauch ja irgendwas auf der linken Seite oder??

lg
beach
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

denke an "doppelt",
also die Bestimmungsgleichung ist N(t)(für USA) = 2*N(t)(für Mexiko)
beachboy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von etzwane
denke an "doppelt",
also die Bestimmungsgleichung ist N(t)(für USA) = 2*N(t)(für Mexiko)


so dann?:




bloß wie lös ich da nach t auf ? sieht das so aus wenn ich "e" wegmache:

etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

ja, so ungefähr, aber du solltest sorgfältiger Klammern setzen.

Und dann ist da noch 1+1,1% = 1,011 sowie 1+2% ist 1,02 !

Damit du mit deiner Rechnung vergleichen kannst:

270,3*10^6*e^(ln(1,011)*(t-1998)) = 2 * 95,8*10^6*e^(ln(1,02)*(t-1998))

auf beiden Seiten schon mal durch 10^6 geteilt und dann die Logarithmen genommen, ergibt

ln(270,3) + ln(1,011)*(t-1998) = ln(2*95,8) + ln(1,02)*(t-1998)

und damit

t-1998 = [ln(270,2)-ln(2*95.8)]/[ln(1,02)-ln(1,011)]

t = ? (bin zu faul zum Rechnen)

Ich hoffe, ich habe mich nicht verschrieben, aber ich denke, du hast die Lösung sowie schon raus.
beachboy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von etzwane
ja, so ungefähr, aber du solltest sorgfältiger Klammern setzen.

Und dann ist da noch 1+1,1% = 1,011 sowie 1+2% ist 1,02 !

Damit du mit deiner Rechnung vergleichen kannst:

270,3*10^6*e^(ln(1,011)*(t-1998)) = 2 * 95,8*10^6*e^(ln(1,02)*(t-1998))

auf beiden Seiten schon mal durch 10^6 geteilt und dann die Logarithmen genommen, ergibt

ln(270,3) + ln(1,011)*(t-1998) = ln(2*95,8) + ln(1,02)*(t-1998)

und damit

t-1998 = [ln(270,2)-ln(2*95.8)]/[ln(1,02)-ln(1,011)]

t = ? (bin zu faul zum Rechnen)

Ich hoffe, ich habe mich nicht verschrieben, aber ich denke, du hast die Lösung sowie schon raus.


Danke bin echt froh über deine Hilfe Augenzwinkern

hab 2036,82 raus hoffe das stimmt smile

kannst du mir noch bei b) helfen komm da nicht weiter unglücklich s.o.

lg beach
beachboy Auf diesen Beitrag antworten »

Okay hab jetzt halt b mit GTR gerechnet un hat alles gestimmt! Echt vielen Dank für eure Hilfe !!!!!!

lg
beach
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Dann noch ne Frage Aufgabe b) lautet: Berechnen sie die Verdopplungszeiten!



Damit dürfte gemeint sein, innerhalb welcher Zeit sich die Bevölkerung verdoppelt.

Du hast ja für jedes Land die Funktion für die Bevölkerungsentwicklung N(t) = N0*........

Für 1998 z.B. ist die Bevölkerung N0 groß. Die Bevölkerung ist doppelt so groß, wenn N(t) = 2*N0 ist. Daraus kannst du für jedes Land den Zeitpunkt t bestimmen, wann die Bevölkerung sich verdoppelt hat. Was ist dann wohl der Verdoppelungszeitraum ?
beachboy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von etzwane
Zitat:

Dann noch ne Frage Aufgabe b) lautet: Berechnen sie die Verdopplungszeiten!



Damit dürfte gemeint sein, innerhalb welcher Zeit sich die Bevölkerung verdoppelt.

Du hast ja für jedes Land die Funktion für die Bevölkerungsentwicklung N(t) = N0*........

Für 1998 z.B. ist die Bevölkerung N0 groß. Die Bevölkerung ist doppelt so groß, wenn N(t) = 2*N0 ist. Daraus kannst du für jedes Land den Zeitpunkt t bestimmen, wann die Bevölkerung sich verdoppelt hat. Was ist dann wohl der Verdoppelungszeitraum ?


Na die Jahre in denen sich die Verdopplung abspielt ??
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