Abzählbar oder nicht???

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cassini Auf diesen Beitrag antworten »
Abzählbar oder nicht???
Hallo,

komme leider bei einer Aufgabe überhaupt nicht weiter:

Zeigen Sie:
Die Menge aller Nullstellen quadratischer Polynome der Bauart
ist abzählbar.

Wäre super, wenn mir jemand dabei einen Tipp geben könnte!!!

Vielen Dank schonmal und schönes WE,
cassini
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abzählbar oder nicht???
Hallo cassini,

Es gilt: Jede Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen M_n ist wieder abzählbar.

N ist abzählbar lt. Definition.
Zu jedem Koeffizientenpaar aus N x N gibt das Polynom zwei Nullstellen.

Das sollte jetzt als Denkanstoss reichen. Nur im Notfall weiterlesen.

Nun trägt man in den Urbeweis von Cantor, dass N x N dieselbe Mächtigkeit hat wie N

{{1, 1}, {2, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 2}, {3, 1}, {4, 1}, {3, 2}, {2, 3}, ...}

anstelle jedes Koeffizientenpäarchens {n,m} die beiden Nullstellen (p[0;n,m] und p[1;n,m]) dazu ein

{p[0;1,1], p[1;1, 1], p[0;1, 2], p[1;1,2], p[0;1,3], p[1;1,3], ...}

und ist fertig.
cassini Auf diesen Beitrag antworten »

hallo Udo,

erstmal vielen Dank für Deine Antwort. Aber einen Satz verstehe ich nicht so, vielleicht habe ich gerade ein Brett vor dem Kopf, aber bevor ich nicht frage und hier zu Hause noch stundenlang herumgrüble...
"Zu jedem Koeffizientenpaar aus N x N gibt das Polynom zwei Nullstellen."
Kannst Du das vielleicht nochmal anders ausddrücken???
Also Nun trägt man in den Urbeweis von Cantor, dass N x N dieselbe Mächtigkeit hat wie N

{{1, 1}, {2, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 2}, {3, 1}, {4, 1}, {3, 2}, {2, 3}, ...}
das habe ich dann auch noch verstanden, aber wie gesagt, dadurch, dass ich den obigen Satz nicht verstanden habe, kann ich den nächsten Schritt auch nicht so ganz verstehen.

LG cassini
cassini Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Udo,

habe mir nochmal den Satz durch den Kopf gehen lassen und für die meisten {n.m} Paare stimme ich Dir ja zu, dass das Polynom zwei Nullstellen ergibt, aber doch nicht immer. Nehmen wir einmal das Paar {1,1} da gibt es überhaupt keine Nullstellen, da man ja schließlich nicht aus einer negaitiven Zahl eine Wurzel ziehen kann.
Und bei der Paarung {2,1} gibt es doch auch nur eine Nullstelle oder sehe ich das jetzt falsch???

Aber eigentlich ist es ja auch eher positiv, wenn es weniger als zwei Nullstellen für jedes Paar gibt, denn das würde ja noch eher bedeuten, dass es abzählbar wäre, oder???

Oder habe ich jetzt die totalen Wirrungen in meinem Hirn???

LG cassini
LeereMenge Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt schon, wichtig ist das es fuer jedes paar n,m€N nur abzaehlbar viele nullestellen gibt, egal wie viele, da ja jede vereinigung beliebig grosser abzaehlbarer mengen abzaehlbar ist. da es max 2 nullstellen fuer ein polynom 2 grades gibt ist dies erfuellt.
cassini Auf diesen Beitrag antworten »

Danke,

nun hoffe ich nur, dass dies als Beweis auch so gilt...
Man weiß ja nie so genau, was die immer noch so alles haben wollen.

cassini
 
 
cassini Auf diesen Beitrag antworten »

Eines verstehe ich dann aber immer noch nicht.
Wir haben noch eine Aufgabe, die lautet:

Zeigen Sie: Die Potenzmenge p(N) von N ist nicht abzählbar.

Warum ist diese dann nicht abzählbar. Eine Potenzmenge ist doch die Menge aller Teilmengen von N, oder?
Warum ist diese dann nicht abzählbar?

Gruß cassini
eule Auf diesen Beitrag antworten »

Ergänzung zu oben: die Menge _aller_algebraischer Zahlen (Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten) ist abzählbar.

Ja, Potenzmenge ist Menge aller Teilmengen. Nein, p(N) ist nicht abzählbar.
#p(X)>#X für beliebige Mengen X. Beweis geht wieder mal indirekt.
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Cassini,

es wär gut, wenn Du den Beweis auch erklören kannst. Also nochmal

(1) Die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms endlichen Grades mit komplexen Koeffizienten ist gleich dem Grad, wenn man die Vielfachheit der Nullstellen mitzählt (Fundamentalsatz der Algebra, erste Beweise von C.F. Gauss).

In Deinem Fall sind die Koeffizienten beide aus N (natürliche Zahlen) und N ist in den komplexen Zahlen enthalten.

x^2 + n x + m = 0 hat über den komplexen Zahlen immer zwei Nullstellen, weil die komplexen Zahlen von Gauss gerade zu dem Zweck eingeführt worden sind, dass der Fundamentalsatz der Algebra gilt. Zu dem Zweck muss - wie von Dir richtig bemerkt - das Wurzelziehen aus negativen Zahlen definiert sein. Dies haben sie mit Hilfe der imaginären Einheit definitionsgemäss erreicht



Falls noch keine komplexen Zahlen dran waren: Wichtig ist nur - wie bereits ebenfalls bemerkt - dass nicht mehr als 2 Nullstellen, insbesondere nicht unendlich viele und schon gar nicht überabzählbar viele Nullstellen für ein Polynom 2. Grades vorliegen.

(2) Wie hat Cantor bewiesen, dass N x N abzählbar ist? Dazu musste er per definitionem eine bijektive Abbildung zw. N x N und N herstellen.

Dazu hat er N x N in Schachbrett- oder Matrixform aufgeschrieben

{1, 1} {1, 2} {1, 3} {1, 4} {1, 5} ... {1, m} ...
{2, 1} {2, 2} {2, 3} {2, 4} {2, 5} ... {2, m} ...
...
{n, 1} {n, 2} {n, 3} {n, 4} {n, 6} ... {n, m} ...
...

und hat dort eine Linie durchgezogen, die diese Werte hintereinander aufreiht (wenn Du die Linie in der Matrixform verfolgst, erkennst Du sofort das Prinzip):

{{1, 1}, {2, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 2}, {3, 1}, {4, 1}, {3, 2}, {2, 3}, ...}

und damit hat er das __Paar__ {1, 1} (aus N x N) der 1 (aus N), {2, 1} der 2, {1, 2} der 3 usw. zugeordnet und damit die Abzählbarkeit von N x N gezeigt. Das habe ich kurz als "Cantors Urbeweis" bezeichnet, weil das eine grundlegend neue Idee war, die man seitdem immer wieder angewendet hat.
cassini Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Nein, wir hatten die komplexen Zahlen noch nicht. Aber ich habe es auch ohne sie verstanden!

Aber das mit der Potenzmenge von N habe ich noch nicht so ganz nachvollziehen können.
Wie sieht so ein indirekter Beweis denn aus?
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Cassini,

Dieser Beweis geht so:

Satz:
Für jede Menge ist die Menge aller Teilmengen von grösser als .

Beweis (Mangoldt/Knopp: Einführung i. d. höhere Mathematik, Bd. IV, S. 71):
Ordnet man jedem Element die Einermenge zu, so entsteht eine bijektive Abbildung von auf eine Teilmenge von . Es gilt also .

Es bleibt zu zeigen, dass .

Indem wir indirekt schliessen, gehen wir von der Annahme aus, es existiere eine bijektive Abbildung . Wir bilden dann die Menge , also die Menge derjenigen Elemente , die _nicht_ in ihrem Bild enthalten sind. Es ist und damit . In der bijektiven Abbildung muss als Bild eines Elements erscheinen, und es muss notwendig oder gelten. Nun ist aber nicht möglich, weil nur Elemente enthält, für die ist. Und es ist ebenso nicht möglich, weil alle Elemente umfasst, für die gilt. Unsere Annahme, dass es eine bijektive Abbildung gibt, hat zu einem Widerspruch geführt. Wie behauptet ist also und damit .
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