Konvergenz

19.11.2004, 18:37

Sabine_

Konvergenz

Hi!

Habe hier eine sehr interessante Übungsaufgabe vor mir, die so logisch ist, dass ich gar nicht weiß, wie ich die noch beweisen soll:

Bestimmen Sie alle s $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , für die

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^k~ n^{-s} \end{eqnarray*}$

(k=oo) konvergiert.

Da ich ja - egal was ich für s aus den natürlichen Zahlen einsetze - eine Nullfolge bekomme, konvergiert die Reihe natürlich für alle s gegen Null. Aber wie kann ich dies mathematisch beweisen?!
Hat da jemand ne Idee?

19.11.2004, 18:50

Anirahtak

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Hallo.

Du irrst dich!

Wenn eine Summe konvergiert, dann hast du eine Nullfolge.

Der Schluss in die andere Richtung stimmt nicht, das heißt:
Wenn du eine Nullfolge hast, dann heißt das noch lang nicht, dass die Summe darüber konvergiert!

Überleg dir das unter diesem Gesichtspunkt noch mal!

Gruß
Anirahtak

19.11.2004, 18:52

Mazze

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Zitat:

Wenn du eine Nullfolge hast, dann heißt das noch lang nicht, dass die Summe darüber konvergiert!

Daran anknüpfend will ich sagen das die harmonische Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{\infty} k^{-1} \end{eqnarray*}$

divergiert, obwohl 1/k wohl die Nullfolge aller Nullfolgen ist.

19.11.2004, 18:58

Sabine_

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Hm...und wie muss ich das dann angehen?!

19.11.2004, 19:13

Mazze

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Ich kann mich leider nicht mehr genau erinnern wie ich das damals gemacht hab, aber ich kenne die s für die die Reihe konvergiert. Ich glaube ein Beweis über das Quotientenkriterium könnte funktionieren (aber bin ich mir nicht sicher).

19.11.2004, 19:44

Anirahtak

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Hallo,
die harmonische Reihe kam doch bestimmt bei dir in der Vorlesung vor.

Und wie schauts aus mit
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Konvergiert diese Reihe oder divergiert sie wie die harmonische?

Gruß
Anirahtak

19.11.2004, 19:52

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Das Majorantenkriterium (Konvergenz) bzw. Minorantenkriterium (Divergenz)
ist hilfreich:

Die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{-s}, x>0 \end{eqnarray*}$
ist für beliebige $\begin{eqnarray*} s>0 \end{eqnarray*}$ monoton fallend.

Also gilt $\begin{eqnarray*} f(n)\leq f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus dem Intervall $\begin{eqnarray*} [n-1,n] \end{eqnarray*}$ .

Für beliebige reelle $\begin{eqnarray*} s>1 \end{eqnarray*}$ kann man diese Ungleichung über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ von 2 bis $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ integrieren:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^k f(n) \leq \int\limits_{x=1}^k f(x) dx = \left[ \frac{x^{1-s}}{1-s} \right]_{x=1}^k =\frac{1-k^{1-s}}{s-1} \end{eqnarray*}$

Die rechte Seite konvergiert für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ , also auch die Reihe.

Ähnlich zeigt man die Reihendivergenz für reelle $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<s\leq 1 \end{eqnarray*}$ durch Abschätzung nach unten, d.h., $\begin{eqnarray*} f(n)\geq f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus dem Intervall $\begin{eqnarray*} [n,n+1] \end{eqnarray*}$ .

23.11.2004, 14:03

Sabine_

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Hallo!

Sorry, aber Integrale hatten wir noch gar nicht. Kenne die zwar aus dwer Schule, darf sie aber halt nicht anwenden. Gibt's vielleicht noch ne andere Möglichkeit?

Grüße,

Sabine_

23.11.2004, 14:27

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Zitat:

Original von Sabine_
Sorry, aber Integrale hatten wir noch gar nicht. Kenne die zwar aus dwer Schule, darf sie aber halt nicht anwenden. Gibt's vielleicht noch ne andere Möglichkeit?

Hast recht, es geht elementar:

Für s>=2 betrachte man

$\begin{eqnarray*} g_s(x) = x(x+1)(x+2)\cdot\ldots\cdot(x+s-1) \end{eqnarray*}$

Für n >= s gilt dann sicher

$\begin{eqnarray*} g_s(n-s+1) \leq n^s\leq g_s(n) \end{eqnarray*}$

(jeweils s positive Faktoren im Produkt; Monotonie dieser Faktoren).

Jetzt bilden wir das Reziproke und summieren (erst ab n=s, aber das spielt für die Konvergenz ja keine Rolle):

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=s}^{\infty} \frac{1}{g_s(n)} \leq \sum\limits_{n=s}^{\infty} n^{-s}\leq \sum\limits_{n=s}^{\infty} \frac{1}{g_s(n-s+1)} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{g_s(n)} \end{eqnarray*}$

Sieht komplizierter aus als am Anfang? Ist es aber nicht, die Partialsummen der links und rechts stehenden Reihen lassen sich explizit bestimmen (hängt mit $\begin{eqnarray*} g_{s-1}(\ldots) \end{eqnarray*}$ zusammen)!

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