Partialsummenabschätzung einer endlichen Folge

20.11.2004, 23:42

Partialsummenabschätzung einer endlichen Folge

Ich bin auf folgendes kniffliges Problem gestoßen, vielleicht könnt ihr mir helfen:

Es seien k und n ganze Zahlen mit k > 1 und n > k^3 .

Weiterhin seien $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots,x_n \end{eqnarray*}$ reelle Zahlen mit den Eigenschaften

a) $\begin{eqnarray*} x_1\geq x_2\geq\ldots\geq x_n\geq 0 \end{eqnarray*}$ ,

b) $\begin{eqnarray*} x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=k\qquad \end{eqnarray*}$ und

c) $\begin{eqnarray*} x_1^3+x_2^3+\ldots+x_n^3>1 \end{eqnarray*}$ .

Man zeige, dass $\begin{eqnarray*} \quad x_1+x_2+\ldots+x_k>1\quad \end{eqnarray*}$ gilt!

P.S.: Ich bin mir nicht völlig sicher, ob das stimmt - es sind also auch Gegenbeispiele willkommen!

20.11.2004, 23:47

Mathespezialschüler

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RE: Partialsummenabschätzung einer endlichen Folge

Zitat:

Original von Arthur Dent
Man zeige, dass $\begin{eqnarray*} \quad x_1+x_2+\ldots+x_k>1\quad \end{eqnarray*}$ gilt!

Meinst du wirklich das oder $\begin{eqnarray*} \quad x_1+x_2+\ldots+x_n>1\quad \end{eqnarray*}$ ??

21.11.2004, 11:17

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Meinst du wirklich das oder $\begin{eqnarray*} \quad x_1+x_2+\ldots+x_n>1\quad \end{eqnarray*}$ ??

Ich meine tatsächlich $\begin{eqnarray*} \quad x_1+x_2+\ldots+x_k \end{eqnarray*}$ , also die Summe der k größten Elemente der Folge.

Noch eine Anmerkung:

Die untere Schranke 1 scheint scharf zu sein, man betrachte dazu die Folge

$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{1}{k}+\varepsilon_1, x_2=\ldots=x_{k^3-1}=\frac{1}{k}, x_{k^3}=\frac{1}{k}-\varepsilon_2 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon_1\searrow 0 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \varepsilon_2=\frac{1}{k}-\sqrt{\frac{2}{k^2}-\left(\frac{1}{k}+\varepsilon_1\right)^2} \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} x_{k^3+1}=\ldots=x_n=0 \end{eqnarray*}$

Also ich lege mal meinen bislang scheinbar erfolgversprechendsten Ansatz vor:

Sei y_i = y_i - 1/k , dann ist (y_i) eine monoton fallende Folge reeller Zahlen,
zu zeigen bleibt y_1+...+y_k > 0 .

Nun ist

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n x_i^2y_i = \sum\limits_{i=1}^n x_i^3 - \frac{1}{k}\sum\limits_{i=1}^n x_i^2> 1-\frac{1}{k}\cdot k = 0 \end{eqnarray*}$

wegen b) und c). Daher ist auf jeden Fall y_1>0.

Falls y_n >= 0, ist die Behauptung bewiesen.

Andernfalls gibt es ein j mit y_j >= 0 > y_{j+1}. Ist dieses j >= k, so sind wir ebenfalls fertig. Für j<k können wir abschätzen

$\begin{eqnarray*} 0 < \sum\limits_{i=1}^n x_i^2y_i \leq \sum\limits_{i=1}^k x_i^2y_i \end{eqnarray*}$

da ja 0 > y_{k+1} >= ... >= y_n gilt.

Tja, aber aus dieser letzten Ungleichung nun y_1+...+y_k > 0 zu folgern, gelingt mir nicht - geht möglicherweise auch gar nicht, falls die letzte Abschätzung ("Wegwerfen" aller Indizes >k) zu grob war.

edit: Dreifachpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

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