Erwartungswert

21.11.2004, 00:42	Idefix	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert Hallo, ich habe da eine Frage und hoffe, Ihr könnt mir weiterhelfen ... Ein Zufallsgenerator spuckt gleichverteilt Werte (x) im Intervall [0...1] aus. Aus diesen Werten erzeuge ich gem. einer Funktionsvorschrift f(x)eine neue Verteilung. Als Beispiel nehme ich hier einmal f(x)=x^(1/3) an. Wenn ich nun den Erwartungswert der neuen Verteilung errechnen möchte, ist dieser dann nicht ... E( f(x) ) = Integral [x * x^(1/3) dx] in den Grenzen 0...1 --> E( f(x) ) = 3/7 ???? Dieser Wert deckt sich jedenfalls nicht mit dem Wert, welchen ich durch einfaches Ausprobieren herausgefunden habe (3/4). Nun bin ich etwas ratlos! Was mach' ich falsch, bzw. wie kommt man denn auf den im Experiment gefundenen Wert? Gruß Andy
21.11.2004, 07:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist ja eine Zufallsvariable über $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ mit der Gleichverteilung. Um den Erwartungswert von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ zu finden, mußt du das Integral $\begin{eqnarray} \mathcal{E}f = \int_0^1~x \cdot u(x)~\mbox{d}x \end{eqnarray}$ bestimmen. Und hierbei muß $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ die Dichtefunktion von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ sein: $\begin{eqnarray} u(x) = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}P(f \leq x) \end{eqnarray}$ Wann ist nun $\begin{eqnarray} f \leq x \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} f(t) \leq x \ \ \Leftrightarrow \ \ \sqrt[3]{t} \leq x \ \ \Leftrightarrow \ \ t \leq x^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(f \leq x) = P([0,x^3]) = x^3 \end{eqnarray}$ Und jetzt mußt du als nächstes $\begin{eqnarray} u(x) \end{eqnarray}$ , wie oben angegeben, berechnen.
22.11.2004, 20:30	Idefix	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, vielen Dank für Deine Hilfe! Ich sehe nun klarer Gruß Andy

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