Herleitung der Zahl e

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Baldessarini Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung der Zahl e
Hallo Leute !

Ich habe einige Fragen zu der eulerschen Zahl. Ich muss einen Weg finden die eulersche Zahl zu berechnen, da ich aber erst in der 11.Klasse bin, kann ich da nichts mit Integralrechnung,Fakultät weiß der kuckuck benutzen.

Die Definition von : http://www.mathe-online.at/mathint/log/i_Exkurs_e.html hat mir am Besten gefallen.

Man geht da einfach davon aus, das eine Basis für eine Exponentialfunktion gibt, die Oberhalb der Geraden 1+x verläuft. Das ist aber nur eine einzige Zahl und die will man herausfinden.

Dazu habe ich eine Frage. Warum wählt man denn überhaupt die Gerade 1+x. Einfach nur aus Bequemlichkeit oder weil man dann eine "schöne" Basis für Exponentialfunktionen gefunden hat ?

Und wenn das garnicht mehr geht, wisst ihr vielleicht einen anderen Weg wie man die eulersche Zahl beweisen kann. Ich habe schonmal was mit Verzinsung e.t.c. gelesen, aber ich glaube nicht das der Herr Euler e erfunden hat, weil er irgendwas verzinsen will.

Über Eure Hilfe würde ich mich freuen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung der Zahl e
Zur Verzinsung kann ich dir was sagen:
Man nehme einen Euro und lege die zu 100% Zinsen an. (In Utopia gibt es solche Banken. Augenzwinkern )

Welches Kapital kommt nach 1 Jahr raus?
Welches Kapital kommt nach 1 Jahr raus, wenn man 2-mal im Jahr am Ende eine Halbjahrs Zinsen bekommt?
Welches Kapital kommt nach 1 Jahr raus, wenn man 3-mal im Jahr am Ende von jeweils 4 Monaten Zinsen bekommt?
Welches Kapital kommt nach 1 Jahr raus, wenn man 4-mal im Jahr am Ende von jeweils 3 Monaten Zinsen bekommt?
Welches Kapital kommt nach 1 Jahr raus, wenn man 12-mal im Jahr am Ende jeden Monats Zinsen bekommt?
Welches Kapital kommt nach 1 Jahr raus, wenn man am Ende jeden Tages Zinsen bekommt?
etc.

Wenn man sich das genauer anschaut, muß man folgenden Grenzwert bestimmen:
Baldessarini Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deinen Post.

Leider klickt es in meinem Kopf einfach nicht, wie Verzinsungen und die eulersche Zahl zusammenhängen. Weil eine Verzinsung ein exponentielles Wachstum ist ?

Wie gesagt, die Erklärung von meinem Link oben habe ich am Besten verstanden, wobei ich eben nicht ganz nachvollziehen kann wie man da auf die Gerade "1+x" als Ausgangssituation nimmt.

Was bringt einem die Zahl e überhaupt, warum ist sie denn so bequem?
martin-w Auf diesen Beitrag antworten »

Die Zahl e ist in erster Linie deshalb so schön, weil für die Funktion gilt . Die Ableitung ist also gleich der Ausgangsfunktion. Das ist auch die sache mit der Geraden y=x+1.
Jede Exponentialfunktion der Form f(x)=a^x geht durch den Punkt (0|1). Es gibt aber nur eine einzige, die die Gerade in diesem Punkt berührt. Das heißt du brauchst jetzt eine Funktion, die an der Stelle x=0 die Steigung 1 hat. Dann hat sie an der Stelle x=0 sowohl die Steigung 1 als auch den Funktionswert 1.
Sie verläuft dann komplett oberhalt der Geraden. Die einzige Exponentialfunktion die das erfüllt ist f(x)=e^x.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Baldessarini
Leider klickt es in meinem Kopf einfach nicht, wie Verzinsungen und die eulersche Zahl zusammenhängen.

Vielleicht klickt es, wenn du mal die jeweiligen Ergebnisse ausrechnen würdest. Augenzwinkern
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Hi
Exponentialfunktionen beschreiben einen Wachstumsvorgang.
Die Ableitung und mit ihr zu arbeiten ist schwer.

Herleitung:
Konkretes Beispiel:

Problem: Steigung m in P(0/1)
Nun kannst du es abschätzen und messen, nachdem du es aufgezeichnet hast.(ungefähre Wert...)

Berechnung der Steigung





Wertetabelle anlegen und h gegen 0 von links und rechts konvergieren lassen und die nahe Werte für f'(0) aufschreiben.

(ungefähr)

Nun für dasselbe durchführen.
[...]



dasselbe noch einmal für
[...]
Dann können wir eine allgemeine Formel herleiten.
Wir bezeichnen den Teil mit den lim als Proportionalitätsfaktor.
Es gilt:

wenn


Zeig das gleiche noch einmal für g(x)=3^x. Zeichne die Graphen der Ableitungen ein und der Funktionen
Die Frage stellt sich: Wie lautet die Basis, für die gilt? (denn dann ist die Ableitung genau dasselbe wie die Ausgangsfunktion- Das haben wir sowohl geometrisch als auch algebraisch gezeigt)
Wir sehen im Koordinatensystem, dass diese Basis b zwischen 2 und 3 liegt. Näher an 3, wie wir es in der Zeichnung sehen.


einschließlich die Ableitungen einzeichnen
Wir bezeichnen die Basis e
Also lautet die Funktion


Berechnung der Zahl e!
sie hat die Steigung an der Stelle .
Legen wir eine Tangente an

Es gilt noch nach unseren Erkenntnisse:


(ich will das ganze nicht erläutern, da es zu lange dauert)
Es gilt

(Halbierungsmethode anwenden.)
Es gilt


Man kann es auf viele andere Art und Weisen herleiten.
 
 
Baldessarini Auf diesen Beitrag antworten »

Wow , nochmal Danke für eure tollen Antworten.

Ok bestimmt wurde diese Frage schon x-mal gestellt, aber warum ist die Ableitung der e-Funktion wieder die e-Funktion ? Ihr braucht mir keine ausführliche Erklärung aufzuschreiben, ein guter Link reicht auch aus [alleine habe ich nichts gefunden].

PG, deine Erklärung ist wirklich super, aber der Proportionalitätsfaktor hat dann doch im Endeffekt mit der eulerschen Zahl wenig zu tun.

Also ich versuche jetzt mal zu verdeutlichen, wie ich es verstanden habe und ich fände es nett, wenn ihr mich dann korrigieren würdet.

Alle Exponentialfunktionen gehen durch den Punkt (0|1). Dies lässt sich einfach dadurch beweisen das man die allgemeine Funktion auf y-Achsenabschnitt prüft. Dafür muss man für x=0 einsetzen. Dadurch ergibt sich , das ist ja so definiert.

Jetzt sucht man nun die Basis einer Exponentialfunktion, die eine Tangente hat, die die Seitung 1 besitzt [warum man das macht, hab ich noch nicht verstanden. Das ist doch dann bestimmt der Teil, mit der 1.Ableitung u.s.w. ]

Da bietet sich ja jetzt die Gerade y=1+x an, die durch den Punkt P(0|1) geht.

Vielleicht kann man ja jetzt sozusagen den Schnittpunkt von der Exponentialfunktion mit der Gerade rausfinden.

1.

jetzt die Wurzel aus n nehmen

2.

Warum man jetzt den Grenzwert gegne null bildet,verstehe ich noch nicht ganz :/
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Baldessarini
Ok bestimmt wurde diese Frage schon x-mal gestellt, aber warum ist die Ableitung der e-Funktion wieder die e-Funktion ? Ihr braucht mir keine ausführliche Erklärung aufzuschreiben, ein guter Link reicht auch aus [alleine habe ich nichts gefunden].

Mathematisch ausgedrückt: Der Wert der Steigung der e-Funktion in der Form f(x)=e^x hat an jeder Stelle mit x Element von R denselben y-Wert wie deren Ableitung.
Allgemein gilt(und das ln ist der Proportionalitätfaktor):




Zitat:
[...]aber der Proportionalitätsfaktor hat dann doch im Endeffekt mit der eulerschen Zahl wenig zu tun.

Der Proportionalitätsfaktor ist sehr wichtig. Gerade, dass die Funktion den Proportionalitätsfaktor 1 hat oder besser gesagt , hat die Funktion die Eigenschaft, dass deren Ableitung die gleiche ist wie die Ausgangsfunktion.



Zitat:
Alle Exponentialfunktionen gehen durch den Punkt (0|1). Dies lässt sich einfach dadurch beweisen das man die allgemeine Funktion auf y-Achsenabschnitt prüft. Dafür muss man für x=0 einsetzen. Dadurch ergibt sich , das ist ja so definiert.

Das stimmt. Schreib lieber
da nach den Potenzgesetzen gilt:


Zitat:
Jetzt sucht man nun die Basis einer Exponentialfunktion, die eine Tangente hat, die die Seitung 1 besitzt [warum man das macht, hab ich noch nicht verstanden. Das ist doch dann bestimmt der Teil, mit der 1.Ableitung u.s.w. ]

Die Steigung IN P(0/1). Das ist sehr wichtig zu erwähnen.

Zitat:
Vielleicht kann man ja jetzt sozusagen den Schnittpunkt von der Exponentialfunktion mit der Gerade rausfinden.

1.

jetzt die Wurzel aus n nehmen

Die Wurzel aus x smile
Außerdem stimmt das oben nicht.
Weil das nicht für den gesamten Definitionsbereich gilt.
Daher musst du eine Ungleichung bilden. Diese Ungleichung kannst du durch die Zeichnung herauslesen. Außerdem: Eine Gleichung hat nur 1 Gleichzeichen.
Mach es einfach so, wie ich es oben gezeigt habe.


Zitat:
2.

Warum man jetzt den Grenzwert gegne null bildet,verstehe ich noch nicht ganz :/

Wir haben eine Ungleichung. Das hier stimmt so nicht.
DU musst den limes anwenden und gegen Null streben lassen.
Warum?
Weil sie NUR bei x=0 einen berührungspunkt haben. Ansonsten hat die e-Funktion größere y-Werte als die Gerade. Daher diese Ungleichung.
Das GLeichzeichen darf man dann setzen, wenn man lim anwendet.
Baldessarini Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zitat:
Vielleicht kann man ja jetzt sozusagen den Schnittpunkt von der Exponentialfunktion mit der Gerade rausfinden.

1.

jetzt die Wurzel aus n nehmen

Die Wurzel aus x smile
Außerdem stimmt das oben nicht.
Weil das nicht für den gesamten Definitionsbereich gilt.
Daher musst du eine Ungleichung bilden. Diese Ungleichung kannst du durch die Zeichnung herauslesen. Außerdem: Eine Gleichung hat nur 1 Gleichzeichen.
Mach es einfach so, wie ich es oben gezeigt habe.


Hallo
Also ich hab mir das ganze nochmal und nochmal angeguckt. Und zu dem Schritt habe ich jetzt eine Frage . Auf der Seite

http://www.mathe-online.at/mathint/log/i...xkurs_e_gr.html steht dazu :

Zitat:

Das Verhalten der Funktion x ® ax wird für kleine x (d.h. für |x| << 1) durch das Verhalten des Graphen nahe jener Stelle, wo er die y-Achse schneidet, d.h. in der Nähe des Punktes (0,1), dargestellt (siehe das zweite der obigen Diagramme). Da der Graph tangential zur grünen Gerade ist, unterscheiden sich die beiden Funktionen dort nur wenig. Daher lässt sich ex in diesem Bereich durch 1 + x annähern (approximieren):

ex » 1 + x für |x| << 1.

Für andere Basen ist das nicht der Fall, da der Graph von ax für a ¹ e im Punkt (0,1) nicht tangential zum Graphen von 1 + x, sondern zum Graphen einer anderen linearen Funktion 1 + cx (mit c ¹ 1) ist. Ganz allgemein gilt für kleine x die Näherungsformel ax » 1 + cx, wobei c von a abhängt und nur für a = e den Wert 1 hat. Darin liegt letzten Endes die Bedeutung der Zahl e.


Was ist denn jetzt mit diesem gemeint, ich versteh das nicht ....

Bedeutet es, dass die Funktionswerte ähnlich sind oder wie ...
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