Skalarprodukt

12.04.2007, 18:00

Yi

Auf diesen Beitrag antworten »

Skalarprodukt

Hoi.

wenn x,y,z reelle Zahlen sind und z != 0, dann folgt aus x*z=y*z. Gilt diese Aussage für das Skalarprodukt im $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ mit n>1

Mir ist klar, dass das nicht gilt. wenn z = (1,2) und x=(1,1) is
dann gilt ja
$\begin{eqnarray*} (1,1)*(1,2)=(1,2)(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+2 = 1y_1+2y_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y_1 = 3-2y_2 \end{eqnarray*}$

Also ist der Lösungsvektor ja $\begin{eqnarray*} y=\begin{pmatrix} 3-2y_2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Gibt also unendlich viele Möglichkeiten

Ich wollte den Beweis aber etwas besser darstellen, falls möglich.

Dazu habe ich nur

$\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,...,x_n)*(z_1,z_2,...,z_n) = (y_1,y_2,...,y_n)*(z_1,z_2,....,z_n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1z_1+x_2z_2+....+x_nz_n = y_1z_1+y_2z_2+...+y_nz_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1z_1+x_2z_2+....+x_nz_n - (y_1z_1+y_2z_2+...+y_nz_n)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1(x_1-y_1)z_2(x_2-y_2)+....+z_n(x_n-y_n)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = (z_1,z_2,....,z_n)*(x_1-y_1,x_2-y_2,....,z_n-y_n) \end{eqnarray*}$

Wenn das Skalarprodukt Null ist, heisst das, dass die Vektoren senkrecht zueinander sind, also z ist orthogonal zu x-y

Nach aufgabenstellung müsste ich jetzt wohl herauskriegen dass ich unendlich viele Lösungen wählen kann.

Ich habe keine Ahnung was ich machen muss.

Gruß, Yi.

12.04.2007, 18:27

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Skalarprodukt

Zitat:

Original von Yi
wenn x,y,z reelle Zahlen sind und z != 0, dann folgt aus x*z=y*z.

Da beginnt das Problem: Was folgt dann aus $\begin{eqnarray*} x \cdot z = y \cdot z \end{eqnarray*}$ ? Ich nehme mal an du meinst $\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$

Zu deinem Problem kann ich dir sagen, dass es zumindest ab dem $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ immer mehrere orthogonale Vektoren zu einem Vektor gibt.

Und wenn du das Ganze iwie als Übung oder so abgeben willst, solltest du Summenzeichen ( $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k \end{eqnarray*}$ ) verwenden!

12.04.2007, 19:01

Yi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Da beginnt das Problem: Was folgt dann aus $\begin{eqnarray*} x \cdot z = y \cdot z \end{eqnarray*}$ ? Ich nehme mal an du meinst $\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$

Das meinte ich

Und das soll ich jetzt für den $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ widerlegen. Nur keine Ahnung wie das geht.
Als ersten Tipp nehme ich das mal mit den Summenzeichen.

Und wie schließe ich dann auf ein Ergebnis?

12.04.2007, 19:43

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Und das soll ich jetzt für den $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ widerlegen. Nur keine Ahnung wie das geht.

Mathematische Aussagen widerlegt man am besten mit einem Gegenbeispiel. Und dieses hier zu finden ist sehr (!) leicht. Denke Dir für z den wirklich einfachsten Vektor den Du haben kannst, dann kannst Du x,y bel. , im Besonderen ungleich wählen.

12.04.2007, 19:50

Yi

Auf diesen Beitrag antworten »

Also z=(0,0,0,....,0) ?

12.04.2007, 19:50

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das eine Frage? Was bedeutet es wenn $\begin{eqnarray*} z = 0 \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ? (d.h führ den Gedanken weiter).

Anzeige

12.04.2007, 19:58

Yi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ist das eine Frage?

Ja, war es Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Was bedeutet es wenn $\begin{eqnarray*} z = 0 \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ? (d.h führ den Gedanken weiter).

Hast du mir das nicht schon beantwortet? Dass ich x und y beliebig wählen kann. Oder was meintest du?

12.04.2007, 20:38

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Hast du mir das nicht schon beantwortet? Dass ich x und y beliebig wählen kann. Oder was meintest du?

Na dann is doch alles ok, aber weil Du eine Frage gestellt hab war ich nich ganz sicher ob Du weisst was ich mein. Ich hab eher sowas wie: " Oh, da sist ja einfach" erwartet anstatt die Frage ob z = 0? :P

12.04.2007, 20:42

Yi

Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön smile

smile

Aber ich habe hier eine ähnliche Aufgabe die lautet

Zeigen Sie, dass aus $\begin{eqnarray*} x*z = y*z \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z \in R^n \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ . Wie kann man "für alle" noch abschwächen?

Wo ist denn da der Unterschied zur ersten Aufgabe? Soll man "für alle" durch "für schließlich alle" ersetzen? Verstehe das überhaupt net traurig

traurig

12.04.2007, 22:05

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst Du diese zweite Aufgabe mal im original Wortlaut aufschreiben?

12.04.2007, 22:10

Yi

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die original Aufgabenstellung, die mich ja auch sehr verwundert.

12.04.2007, 22:30

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ups tut mir Leid jetzt versteh ichs, der Unterschied ist in der Tat das für alle. Also in der ersten Aufgabe war

$\begin{eqnarray*} x*z = y*z \end{eqnarray*}$

für ein z ! In der zweiten gilt es für alle z. Insbesondere gilt es also auch für die kanonischen Einheitsvektoren. Den Beweis erbringst Du mit diesen Einheitsvektoren ganz leicht.

12.04.2007, 22:41

Yi

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} x*(1,0,0,...,0) = y*(1,0,0,....,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_1 = y_1; y_2, x_2 \end{eqnarray*}$ wäre beliebig.. $\begin{eqnarray*} x_n, y_n \end{eqnarray*}$ beliebig

Ich könnte das selbe für z=(0,1,0,...,0) jetzt noch einmal machen bis (0,0,0,...,1)

Aber wie schließt man damit auf "für alle" beziehungsweise wie "schwächt man das ab"?

12.04.2007, 22:47

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal, das für alle ist Vorrausetzung das musst Du nicht zeigen. Du musst zeigen das x = y ist, wenn x*z = y*z für alle z gilt. Das heißt Du musst lediglich zeigen das x = y. Der i-te kanonische Einheitsvektor wird oft mit $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ bezeichnet, das musst Du nur noch einsetzen und kurz argumentieren.

12.04.2007, 22:58

Yi

Auf diesen Beitrag antworten »

Damit erhielte ich dann aber

$\begin{eqnarray*} 0*x_1+...+e_i*x_i+...+0*x_n = 0*y_1+...+e_i*y_i+...+0*y_n \end{eqnarray*}$

Achso, ich sollte ja die Summenschreibweise nehmen. Zu spät Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt müssen x und y an der i-ten Stelle gleich sein. Und jetzt ist das Ergebnis, für alle z, wenn $\begin{eqnarray*} x_i = y_i \end{eqnarray*}$
??

12.04.2007, 23:04

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Du verwurschtelst da irgendwie irgendwas

Zitat:

0*x_1+...+e_i*x_i+...+0*x_n = 0*y_1+...+e_i*y_i+...+0*y_n

Das ist quark, da steht

0*x_1+...+1*x_i+...+0*x_n = 0*y_1+...+1*y_i+...+0*y_n

wenn Du $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ einsetzt. Und jetzt streich mal alle 0Terme raus und sieh Dir an was übrigbleibt.

12.04.2007, 23:09

Yi

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} x_i = y_i \end{eqnarray*}$

Das war ja einfach...

Verstehe aber leider immer noch nicht, inwiefern das helfen soll unglücklich

unglücklich

12.04.2007, 23:11

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn $\begin{eqnarray*} x_i = y_i \end{eqnarray*}$ dann ist ja wohl offensichtlich das x = y. Und dann bist Du fertig.

12.04.2007, 23:19

Yi

Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank!!!!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »