Homomorphismus |
| 22.11.2004, 16:34 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Homomorphismus zu zeigen ist: a) G ist genau dann abelsch, wenn f: G -> G, f(g)= g^-1, ein Gruppenhomomorphismus ist. b) Ist H eine zu G isomorphe Gruppe, so ist G genau dann abelsch, wenn H abelsch ist. c) Die Menge Aut(G) := {Gruppemhomomorphismen f: G-> G} bildet eine Untergruppe der symmetrischen Untergruppe (S(G), o ). d) Es gibt keine Gruppenhomomorphismen (Z,+) -> (Z,+) außer den vm Hinweis: betrachten sie einen beliebigen Gruppenhomomorphismus v: Z->Z und setzen sie m:= v(1). e) Zeigen sie, dass Aut(Z,+) isomorph zu (F2,+) ist. hiiiiiiiiiiiiiillllfe! 
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| 22.11.2004, 17:17 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hilfe schreien bringt da nichts. poste doch bitte erst mal deine ideen und ansätze. du wirst dir ja schon was überlegt haben, oder?! mfg jochen |
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| 22.11.2004, 18:11 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
du, ich hab da absolut keine ahnung. ich kann mir nichts unter homomorphismus vorstellen. weiß überhaupt nicht, wie ich da rangehen soll. |
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| 22.11.2004, 18:22 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also ihr hattet in der VL ganz bestimmt, was ein homomorphismus ist! f: G->G ist dann homomorph, wenn für alle x,y aus g gilt: f(xy)=f(x)f(y) (verknüpfung hier links und rechts jeweils die verknüpfung von G). anders gesagt: es ist egal, ob du erst verknüpfst und dann abbildest oder erst einzeln abbildest und dann die bilder verknüpfst. wenn du in eine andere gruppe abbildest, so musst du nur beachten, welche verknüpfung du jeweils nehmen musst, aber an der definition ändert sich nichts. also ich zeigs dir mal bei der a): zu zeigen: f homomorph => xy=yx für alle x,y aus G jetzt überlege bitte mal selbst, an welcher stelle ich hier welche eigenschaften (insbesondere die oben erklärte gegebene homomorphiebedingung) genutzt habe. und danach schau dir den rest nochmal selbst in ruhe an. viel spaß beim knobeln, mfg jochen |
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| 22.11.2004, 18:24 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi. Also die a) ist zum Beispiel gar nicht schwer. Weißt du denn, wann eine Gruppe abelsch heißt? Weißt du, was die kennzeichnende Eigenschaft eines Homomorphismus ist? Überlege dir bei a) zum Beispiel erstmal, was es bedeutet, dass das angegebene f ein Homomorphismus ist und du wirst sehen, dass dies definitiv erfüllt ist, wenn G abelsch ist. Und auch die Umkehrung sollte nicht schwer sein. Probiere das mal und schreibe hier ins Forum, was du dir überlegt hast; falls es nicht funktioniert, sehen wir dann wenigstens, wo es klemmt und können besser helfen. |
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| 22.11.2004, 19:34 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hi philipp! also eine gruppe heißt abelsch, falls gilt: für alle a, b aus G gilt a*b=b*a! eigenschaften eines homomorphismus? na wenn ne fkt homomorph ist, dann gelte ab=ba oder? na a) wurde doch schon gezeigt, oder nicht? also xy=yx! nicht? |
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| 22.11.2004, 19:40 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@fliege:
dazu, was es bedeutet, wenn eine funktion homomorph ist, siehe mein beitrag... da ich grad dieses zitat in deiner antwort an phil gelesen habe, wage ich es zu bezweifeln, das du dich damit beschäftigt hast und das macht mich eigentlich traurig..... 
meinst du ich schreibe das zum spaß auf oder weil ich gerne meine zeit mit trivialitäten verschwende? nein, ich möchte, dass du was dabei lernst und dann anwenden kannst.... aber das geht nur, wenn du das auch willst!!
aber nicht von dir.... also jetzt reiß dich bitte mal zusammen und erarbeite dir in ruhe, was ein homomorphismus ist und dann schau dir die anderen aufgaben an. und gewöhne dich bitte nicht daran, dass dir aufgaben vorgerechnet werden... jochen |
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| 22.11.2004, 19:48 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
du, ich beschäftige mich damit. ich will das selber können, drum mag ich es mir heir erklären lassen. ums vorrechnen geht es nicht! zu b) meine überlegung: wenn sie isomorph sind, gibts ne bijektive abbildung von H auf G... 2 oder mehr elemente in H verknüpft und auf G abgebildet ergibt das selbe, als wenn ich die 2 oder mehr elemente auf G abbilde und ihre Bilder in G verknüpfe (verknüpfung mit der in der jeweiligen Gruppe definierten operation). musst über die kommutativität in H zeigen, dass auch G bzgl seiner verknüpfung kommutativ ist. F(a)oF(b)=F(b)oF(a) ist zu zeigen... F(a)oF(b)=F(aOb) ( Def. lineare abbildung) o ist verknüfung in G, O Verkn. in H... O ist kommutativ => F(aOb)=F(bOa)=F(b)oF(a) a,b aus H, F(a),F(b) aus G. das müsste doch laut deinem beitrag ausreichen, oder? |
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| 22.11.2004, 20:11 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
es gibt einen bijektiven homomorphismus (=:f) (das wird dann ein isomorphismus genannt), das ist ganz wichtig, und du benutzt es ja auch. dieser geht von G nach H, und da er bijektiv ist ist auch f^-1 isomorphismus von H nach G. dein beweis ist von der idee her richtig, aber ich würde ihn anders aufbauen. beginne mit xy aus H und nicht mit F(a), F(b) mit a,b aus G.... danach kannst du dann argumentieren, das x=f(f^-1(x) und y=f(f^-1(y)) ist (eindeutig wegen isomorphismus) und dann kannst das zusammenziehen, weil f homomorph ist und innen vertauschen, da G abelsch ist (usf). im endeffetk steht dann ...=yx da. deine idee war also richtig, aber ich denke so ist es noch genauer. homomorphe abbildungen sind übrigens allgemein strukturerhaltend: also kommutativität, assoziativität... bleibt erhalten mfg jochen zu c) untergruppenkriterien |
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| 23.11.2004, 13:09 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
zu c) Untergruppenkriterium: - U darf nicht leer sein (also quasi Aut(G) ) Aut(G) ist nicht leer, da Gruppenisomorphismus vi: G-> G - a,b aus U => a o b aus U ? - a aus U => a^-1 aus U Automorphismus ist eine Funktion mit folgenden Eigenschaften: - bildet struktur in sich selbst ab, - ist bijektiv - ist Homomorphismus - umkehrfunktion von Aut. ist Homomorphismus Aut. ist Isomorphismus einer struktur in sich selbst. Aut. einer Gruppe ist ein bijektiver Homomorphismus von G auf G. ich muss hier also zeigen, dass Aut(G) nicht leer ist. s.o. die anderen 2 kriterien: welche 2 elemente nehme ich da jetzt aus aut(G)? da muss ich ja dann quasi nicht zeigen, dass G homomorph ist. oder? |
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| 23.11.2004, 14:49 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
bist du sicher, dass du homomorphier verstanden hast? 
gruppen selbst sind nicht homomorph..... also du willst zeigen, das die menge aller automorphismen von G mit der verknüpfung konjugiert (°) eine untergruppe der menge aller bijektiven abbildungen von G mit ° ist. die 3 kriterien sind schon mal richtig: also nichtleer ist klar (z.b. auch id in Aut(G)) und Aut(G) c S(G) auch klar, denn alle automorphismen sind bijektiv 1. f sei Automorphismus. zz. auch f^-1 ist ein automorphismus 2. f und g sind automorphismen, zz. f°g ist automorphismus achtung: f ung g sind beliebige automorphismen ist gar nicht so schwer, wenn du die kriterien, die du von f und g als automorphismen hast anwendest... versuchs doch noch mal in ruhe. mfg jochen |
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| 23.11.2004, 17:27 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
f sei automorphismus. zu zeigen: f^-1 ist ein automorphismus. wenn f:G-> G geht, dann geht auch f^-1 G->G. d.h. die umkehrfunktion f^-1 bildet wieder in G ab. f°f^-1=id. richtig? und wie weiter? |
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| 23.11.2004, 17:50 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also das f^-1 bijektiv ist und von G nach G geht ist doch schon mal ein guter anfang. was du jetzt noch zeigen musst ist eben, das auch f^-1 ein homomorphismus ist. wenn du das gezeigt hast, dann ist das inverse zu einem Automorphismus wieder ein Automorphismus und damit die Automorphismen"gruppe" (zu zeigen) abgeschlossen gegenüber inversenbildung. also brauchst du etwas der art: f^-1(xy)=..............=f^-1(x)f^-1(y) mfg jochen |
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| 23.11.2004, 18:01 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
es ist also z.z., dass f^-1 ein Homomorphismus ist. x,y aus G xy=(y^-1 x^-1)^-1= f(y^-1x^-1)= f(y^-1) f(x^-1)=yx das zeigt den Homomorphismus für f. und wie mach ich das dann für f^-1? |
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| 23.11.2004, 19:15 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
?!?! |
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| 23.11.2004, 19:39 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
was ist dein problem? |
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| 23.11.2004, 19:49 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
xy=(y^-1 x^-1)^-1= f(y^-1x^-1)= f(y^-1) f(x^-1)=yx das zeigt den Homomorphismus für f. und wie mach ich das dann für f^-1? |
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| 23.11.2004, 22:56 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ohjemine nein das zeigt keinen homomorphismus für f. f ist als homomorphismus gegeben und du musst doch zeigen, das dann auch f^-1 ein homomorphismus ist (gruppenbedingung). noch einmal ganz deutlich: homomorphie hat nichts mit kommutativität zu tun. yx=xy: in dieser aussage steckt ja nicht mal irgendeine funktion, wie also kann das was mit homomorphie zu tun haben?! mache dir das noch einmal klar, was homomorph bedeutet und was du also zeigen musst!!! wenn du diese anfänge nicht verstehst hat es keinen sinn, dir bei solch' weiterführenden aufgaben zu helfen. also werde dir zuallererst mal über die grundidee der homomorphen abbildung klar, was das ist, wie man homomorphie zeigt und dann erst, was du also bei c zeigen musst. DAS SIND GRUNDLAGEN! OHNE DIE GEHT ES NICHT! mfg jochen |
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| 26.11.2004, 11:03 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also wenn das kein homomorphismus zeigt, dann ist quasi a) auch falsch, so wie es gezeigt ist? s.o. |
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| 26.11.2004, 11:08 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
genau lesen bitte! lies dir mal die ganze aufgabe noch mal durch und mache dir klar, was du jeweils zeigen musst. wenn du das nicht mal schaffst, dann können wir dir auch nicht helfen..... bei a) hast du ja einen bestimmten homomorphismus gegeben und bei c) ist f dann ein beliebiges element aus der Automorphismenmenge. mfg jochen |
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