Linearität |
| 22.11.2004, 16:41 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Linearität v:V->W a) K=R, V=W=R², v((x,y))= (x+y, x) b) K=V=W=R, v(x)= ax+b mit festen a,b e R. c) K=V=W=C, v(z)=z quer d) K=R, V=W=C, v(z)=z quer. ?!?!? habe keine ahnung 
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| 22.11.2004, 16:45 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann erzähl mir mal welche Eigenschaften eine lineare Abbildung haben muss! |
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| 23.11.2004, 13:45 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Eine Abbildung f: V -> W heißt lineare Abbildung, wenn für alle x,y V und a K gilt: a f(x) =f(ax) und f(x+y) = f(x) + f(y) a*f(x,y)= f(ax+ay, ax) f(x+y) = f(x) + f(y) f(x+y)= f(x+y) + f(x) also ist a) nicht linear, oder? |
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| 23.11.2004, 13:54 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was das jetzt soll, ist mir ein Rätsel. Es ist zu zeigen: a*v((x,y)) = v(a*(x,y)) und v((x1,y1) + (x2,y2)) = v((x1,y1)) + v((x2,y2)) Ich schätze mal, dass v linear ist. |
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| 23.11.2004, 13:58 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
na du hast ja jetzt quasi nur die eigenschaften hingeschrieben. die sind ja klar. nur wie schreibe ich das jetzt richtig auf - oder zeige das jetzt richtig! ich meine, ich muss ja irgendwo n teil aus a) verwenden also quasi f ((x,y))= (x+y,x) |
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| 23.11.2004, 14:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
bleiben wir mal dabei, dass die Abbildung v heißt und wie folgt definiert ist: v((x,y)) = (x+y, x) Was ist dann v(a*(x,y)) ? |
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| 23.11.2004, 14:20 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also v(a*(x,y))= (ax,ay) also ist die aussage wahr, richtig? |
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| 23.11.2004, 14:54 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
falsch, bitte nochmal genau hinschauen, v ist definiert als: v((x,y)) = (x+y, x) es ist v(a*(x,y)) = v((ax,ay) = ??? |
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| 23.11.2004, 15:07 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
v((x,y)) = (x+y, x) es ist v(a*(x,y)) = v((ax,ay) = (ax+ay, ax) ? |
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| 23.11.2004, 15:10 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
richtig! und was ist (ax+ay, ax), wenn du a ausklammerst? |
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| 23.11.2004, 15:19 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
na a(x+y, x) |
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| 23.11.2004, 15:21 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
schön, und was kann man auch für (x+y, x) bzw. dann für a*(x+y, x)schreiben? Tipp: schau mal nach, was zu zeigen war,. |
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| 23.11.2004, 15:24 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
a*f(x,y)= f(ax+ay, ax)=a(x+y,x)= a*f(x,y) |
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| 23.11.2004, 15:32 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
dann wäre die 2. bedingung wie folgt: korrigier mich, wenns falsch ist! v((x1,y1) + (x2,y2)) = v((x1,y1)) + v((x2,y2))= (x1,y1)+ (x2,y2) = (x+y,x)= v((x1,y1)+(x2,y2)) |
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| 23.11.2004, 15:33 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
du machst schon wieder diesen komischen Fehler und schreibst: a*f(x,y)= f(ax+ay, ax) Das ist so schlicht und ergreifend falsch! erstens heißt die Abbildung v und nicht f und zweitens muß es zusammengefaßt so heißen: v(a*(x,y))= v((ax,ay)) = (ax+ay, ax) = a(x+y,x)= a*v(x,y) So, das war der 1. Teil des Beweises für die Linearität. Nun mach mal den 2. Teil!
Also von links nach rechts: v((x1,y1) + (x2,y2)) = v((x1,y1)) + v((x2,y2)) <-- genau das ist zu zeigen v((x1,y1)) + v((x2,y2))= (x1,y1)+ (x2,y2) <-- falsch, v ist anders definiert (x1,y1)+ (x2,y2) = (x+y,x) <-- quatsch (mußte mal gesagt werden) (x+y,x)= v((x1,y1)+(x2,y2)) <-- s.o. |
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| 23.11.2004, 15:47 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
na 1. war ja richtig. und 2. FAST! ich bring dich zu weißglut ;-) 
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| 23.11.2004, 16:01 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Um es nochmal klarzustellen: wenn du f(ax+ay, ax) schreibst, dann ist das (ax+ay+ax, ax+ay), aber nicht (ax+ay,ax) bzw. a(x+y,x) Ich hoffe, das ist klar!!! Und dein Beweis für die 2. Bedingung ist - vorsichtig gesagt - kalter Kaffee. Bitte schreib es sauber und Schritt für Schritt hin: v((x1,y1) + (x2,y2)) = ??? |
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| 23.11.2004, 16:31 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also a) hab ich. zu b) also es gelte wieder 1) k* v(x)= v(kx) v sei wie folgt definiert: v(x)=ax+b dann ist k*v(x)=k(ax+b)=kax+bk= k*v(x) 2) v(x+y)=v(x)+v(y) nur hier komm ich nicht weiter... das hab ich noch nicht gecheckt! 
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| 23.11.2004, 17:33 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
möchte mal sehen, wie du die Aussage v((x1,y1) + (x2,y2)) = v((x1,y1)) + v((x2,y2)) bewiesen hast. Das, was ich bislang gesehen habe ist schlicht falsch.
Du verwechselst wieder Behauptung und Voraussetzung. k* v(x)= v(kx) ist zu beweisen
jetzt steht am Ende das gleiche da wie am Anfang, nämlich k*v(x). Darum gings aber nicht. Es muß v(kx) rauskommen. Für heute ist Feierabend, morgen gehts weiter. |
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| 23.11.2004, 17:52 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
eh sorry, bei dir versteh ich irgendwie gar nichts... ist einfach nur noch reines wirrwaaaaaaaaaaaaaaaaa |
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| 24.11.2004, 09:27 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok, also nochmal Schritt für Schritt: Wir haben eine Abbildung v, die wie folgt definiert ist: v(x) = ax+b Es soll untersucht werden, ob v linear ist. Dazu müssen 2 Dinge geprüft bzw. bewiesen werden. Eins davon ist, dass folgende Aussage zu zeigen ist: k* v(x) = v(kx) Bis hier einverstanden? In deinem "Beweis" schreibst du: k*v(x)=k(ax+b)=kax+bk= k*v(x) Das ist aber kein Beweis, weil am Ende der Gleichung dasselbe steht wie am Anfang. An keiner Stelle ist aber bewiesen, dass k* v(x) = v(kx) gilt. Von Aufgabe a) fehlt der Beweis von v((x1,y1) + (x2,y2)) = v((x1,y1)) + v((x2,y2)) Wenn du anderer Meinung bist, dann zeige mir, wo der Beweis steht. |
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| 26.11.2004, 10:58 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also pass auf: a) habe ich wie folgt gelöst. korrigier mich, wenn ich falsch liege: es muss gelten: vi(a1v1+a2v2)=a1*vi(v1)+a2*vi(v2)= a1(x+y,x)+a2(x+y,x) also: vi(a1v1+a2v2)=vi(a1(x,y)+a2(x,y) =vi(a1v1+a2x,a1y+a2y) =(a1x+a2x+a1y+a2y,a1x+a2x) =(a1x+a1y+a2x+a2y, a1x+a2x) =(a1(x+y)+a2(x+y),a1x+a2x) =(a1(x+y,x)+a2(x+y,x)) und das ist dann quasi das selbe, wie das, was gelten muss. also ist a) linear abhängig. b)es muss gelten: vi(a1v1+a2v2)=a1*vi(v1)+a2*vi(v2)= (aa1v1+ab)+(aa2v2+a2b) also: vi(a1v1+a2v2)=a(a1v1+a2v2)+b =aa1v1+aa2v2+b =(aa1v1+0,5b)+(aa2v2+0,5b) und das ist nicht das gleiche, wie das, was gelten muss, somit es b) nicht linear! was meinste? |
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| 26.11.2004, 11:35 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es scheint sehr schwierig zu sein, sich darauf zu einigen, was bewiesen werden soll. Erstmal heißt die Abbildung v und nicht vi. Ich hab den Eindruck, du schreibst was, ohne genau zu wissen, was vi, a1, a2, v1 und v2 sein sollen. Zweitens muß rein formal folgendes bewiesen werden: v(A + B) = v(A) + v(B) Konkret sind hierbei A und B Tupel aus R². Also: A = (x1,y1) und B = (x2,y2) Setzen wir das ein, dann ist folgendes zu zeigen: v((x1,y1) + (x2,y2)) = v((x1,y1)) + v((x2,y2)) So, bis hier einverstanden? Nun die Rechnung: v((x1,y1) + (x2,y2)) = v((x1+x2, y1+y2)) = (x1+x2+y1+y2, x1+x2) = (x1+y1,x1) + (x2+y2,x2) = v((x1,y1)) + v((x2,y2)) zu b)
nun ja, für b <> 0 stimmts, b könnte aber auch Null sein. |
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| 26.11.2004, 11:43 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also pass auf. ob nun vi und v ist ja nun wurscht! desweiteren haben wir in der vorlesung 2 sachen durchgenommen, die bewiesen werden sollen: 1) a*v(x)= v(ax) 2) v(x+y)=v(x)+v(y). richtig? das waren auch mal deine worte! nun kann man aber auch die 2 schritte in einem machen. also: v(a1x+a2y)=a1*v(x)+a2*v(y). verstehst? und somit ist doch das richtig! ?!?! |
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| 26.11.2004, 11:52 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist richtig, was 1) und 2) betrifft. Trotzdem hat Mathematik auch was mit der Einhaltung gewisser formaler Regeln zu tun. Da ist es eben nicht wurscht, ob man einfach mal - "so on the fly" - andere Bezeichnungen verwendet bzw. irgendwelche Bezeichnungen hinschreibt, ohne zu sagen, für was die stehen.
In dieser Gleichung ist unklar, was v1 bzw. v2 sind. Da du für vi(v1) den Ausdruck (x+y,x), aber auch für vi(v2) den gleichen Ausdruck (x+y,x) schreibst, ist zu vermuten, dass v1 = v2 = (x, y) ist. Das ist so aber nicht richtig. Die Aussage muß auch für unterschiedliche v1 und v2 gezeigt werden. |
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