Determinante einer nxn Matrix allgemein

12.04.2007, 23:51

SilverBullet

Determinante einer nxn Matrix allgemein

Nabend Leute,

hab hier eine Aufgabe die eigentlich ziemlich einfach aussieht mir aber trotzdem Kopfzerbrechen bereitet.
Wir haben grade das Thema Determinanten angefangen und bisher eigentlich nur : Determinante einer Blockmatrix,Vandermonde Matrix, Cramersche Regel, Entwicklungssatz Laplace.

Nun erstmal die Aufgabe (Hab sie als jpg da es bei mir nicht so richtig klappen will mit der Matrix in Latex) :

http://www.1200kb.net/uploadimg/file1667918717.jpeg

Hmm dummerweise komme ich nicht mal auf nen richtigen Ansatz dabei unglücklich

Meine erste Überlegung war die Matrix irgendwie auf Dreiecksform zu bringen aber das gestaltet sich doch sehr kompliziert da die 2 da drin immer stört.

Wie komme ich hier weiter ?

lg
Marc

13.04.2007, 00:19

SilverBullet

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Hat sich vorerst erledigt glaube ich Augenzwinkern

Habe einfach mal versucht für eine 1x1 Matrix, 2x2 usw.. die Determinaten zu bestimmen und siehe da wenn jetzt ne Induktion klappt bin ich glücklich smile

14.04.2007, 00:15

SilverBullet

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:(
Hab es leider nicht hinbekommen unglücklich

Hoffe sehr hier hat jemand eine Idee.
Unser Üleiter hatte heute nämlich so spontan keine Idee unglücklich

Also hab mir einfach mal eine 1 x 1 Matrix betrachtet dort steht ja nur die 2 drin und die Determinante ist logischerweise 2.

Dann hab ich mir eine 2 x 2 Matrix betrachtet :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und hier ist die Determinante $\begin{eqnarray*} 2\cdot2 - (-1) \cdot (-1) = 3 \end{eqnarray*}$

Gut also man könnte noch ein paar Beispiele machen aber man sieht ja das die Determinante immer n+1 ist für eine n x n Matrix.

Das will ich nun mit Induktion beweisen und hier ist mein Problem :

IA :Für n = 1 wie oben.

IV: Sei bewiesen, dass die Determinante der n x n Matrix (n+1) ist.

IS: ?

Den bekomme ich einfach nicht hin. Das Ding auf Zeilenstufenform zu bringen klappt nicht und ist wie es aussschaut sehr sehr aufwendig.
Hab auch den Laplaceschen Entwicklungssatz probiert aber das will auch nicht klappen da nur Matrizen dabei entstehen deren Determinante ich nicht kenne.

Wer kann mir da weiterhelfen ?

Habe mir Mühe gegeben mal die (n+1) x (n+1) Matrix hinzubekommen(Die Striche trennen die alte n x n Matrix ab. Also es ist quasi nur die erste Spalte und Zeile hinzugekommen.

http://www.1200kb.net/uploadimg/file2118313137.jpeg

mfg
Marc

14.04.2007, 11:50

beuteltier

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die kommt mir bekannt vor, ich glaub die musste ich auch mal berechnen. so spontan würde ich sagen: laplace'scher entwicklungssatz, um die det induktiv zu berechnen:
$\begin{eqnarray*} det( A_n ) = 2 * det( A_{n-1} ) - (-1) * det(B_{n-1}) \end{eqnarray*}$

dann musst du nur noch überlegen, was det(B) ist, da muss man wahrscheinlich ein paar minuten drüber anchdenken. ich glaube man kann det(B) wieder mit laplace auf eine det(A) Matrix zurückführen. versuch da mal n bisschen rum

14.04.2007, 13:28

SilverBullet

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Alles klaro danke für den Tipp ich probier es mal :=)

14.04.2007, 13:43

Lazarus

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Zitat:

Original von beuteltier
[...]
ich glaube man kann det(B) wieder mit laplace auf eine det(A) Matrix zurückführen. [...]

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \left|a_{4\times 4}\right|=\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{vmatrix}=2\cdot\left|a_{3\times 3}\right| - (-1)\cdot \begin{vmatrix} -1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} =2\cdot\left|a_{3\times 3}\right| + (-1)\cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2\cdot\left|a_{3\times 3}\right| - \left|a_{2\times 2}\right| \end{eqnarray*}$

14.04.2007, 14:37

SilverBullet

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Vielen Dank auch für das Beispiel. Da konnte ich auf anhieb endlich den Vorteil von diesem Laplace sehen.

14.04.2007, 15:46

SilverBullet

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Habe noch ein kleines Problem

$\begin{eqnarray*} ...= 2\cdot\left|a_{n\times n}\right| - \left|a_{(n-1)\times (n-1)}\right| \end{eqnarray*}$

Das erhalte ich ja beim Induktionsschritt.

Die Determinante von der n x n Matrix ist mir ja durch die Vorraussetzung bekannt.

Wie mache ich es nun am besten ? Ich weiß ja das die Det der (n-1) x (n-1) Matrix genau n-2 ist aber das muss ich doch auch zeigen.

Soll ich da einfach sagen, dass um die Determinante der (n-1) x (n-1) Matrix zu bestimmen wieder gleich dem Anfang der bestimmung der n x n Matrix ist und durch wiederholte Anwendung kommt man auf die gesuchte Determinante ?

Oder kann man das irgendwie besser zeigen ? Theoretisch kenne ich die Determinante ja nicht da wegen der Induktion ja nur die Determinante von der 2 x 2 und n x n Matrix bekannt ist oder kenn ich damit auch die Det der (n-1) x (n-1)?

14.04.2007, 15:57

Lazarus

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Dein Induktionsanfang sollte das sein was ich dir hingeschriebne habe, aber ausformuliert, also det einmal so berechnet, dann umgeformt und dann nochmal berechen und siehe das es stimmt.

Dann kannst du den schluss von n und n-1 auf n+1 machen. Analog dazu funktionierts ja bei der Folge von Herrn Pisano

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