Integral berechnen

23.11.2004, 09:47

Helpless

Integral berechnen

Wir sollen berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~\frac{\sin^3(x)}{x}~dx \end{eqnarray*}$

und dürfen dabei benutzen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~\frac{\sin(x)}{x}~dx=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Hat jemand ne Idee?

23.11.2004, 11:20

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Über die Additionstheoreme
$\begin{eqnarray*} \sin(u+v)=\sin u\cos v+\cos u\sin v,\quad \cos(u+v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v,\quad\sin^2u+\cos^2u=1 \end{eqnarray*}$
lässt sich eine Darstellung
$\begin{eqnarray*} \sin(3x)=A\sin x+B\sin^3x \end{eqnarray*}$
mit Konstanten A, B (die musst du schon selber ausrechnen) ermitteln.

Das ins Integral eingesetzt sollte weiterhelfen.

23.11.2004, 13:54

Zaphod Beeblebrox

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RE: Integral berechnen
Wie mein alter Anhalter-Freund Arthur schon richtig bemerkte sollten die Additionstheoreme hier den Ausgangspunkt bilden.
Besonders gilt hier aber auch die Formel von Moivre für Winkelvielfache
$\begin{eqnarray*} [1] \qquad cos \, nx + i \cdot sin \, nx = \sum_{k=0}^{n} i^{k} \cdot \binom{n}{k} cos^{n-k}x \, sin^{k}x \end{eqnarray*}$
mit der
$\begin{eqnarray*} [2] \qquad sin^{3}x=\frac{1}{4}(3sin \, x-sin \, 3 x) \end{eqnarray*}$
wird und wodurch sich auf diese Weise das zu lösende Integral wie folgt ergibt:
$\begin{eqnarray*} [3] \qquad \int_{0}^{\infty}\frac{sin^{3}x}{x} dx \quad = \quad \int_{0}^{\infty}\frac{3sin \, x-sin \, 3 x}{4x} dx \quad = \quad \int_{0}^{\infty}\frac{3sin \, x}{4x} dx - \int_{0}^{\infty}\frac{sin \, 3 x}{4x} dx \end{eqnarray*}$ .
Hierin läßt sich das erste Integral
$\begin{eqnarray*} [3.1] \quad \int_{0}^{\infty}\frac{3sin \, x}{4x} dx \end{eqnarray*}$
mit dem zusätzlich, durch die Aufgabe gegebenen Integral lösen.
Für das zweite Integral
$\begin{eqnarray*} [3.2] \quad \int_{0}^{\infty}\frac{sin \, 3 x}{4x} dx \end{eqnarray*}$ .
sieht die Sache anders aus. Denn dieses läßt sich nach [1] bzw. besonders [2] nur so "vereinfachen"
$\begin{eqnarray*} [4] \qquad sin^{3}x=\frac{1}{4}(3sin \, x-sin \, 3 x) \Rightarrow sin \, 3x = 3sin \, x - 4sin^{3}x \end{eqnarray*}$
das ein geschlossener "Umformkreis" entsteht, durch den [3] in einer Aussage 0=0 endet.

Da mir momentan kein Ausweg hieraus bekannt ist / einfällt heisst das, daß nach [3] die analytische Lösung vorerst mit
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}\frac{sin^{3}x}{x} dx \quad=\quad \frac{3\pi}{8} - \int_{0}^{\infty}\frac{sin \, 3 x}{4x} dx \end{eqnarray*}$
angegeben werden müsste.
Vielleicht kann dir (und interessehalber auch mir) ab hier jemand anderes weiterhelfen.

Zaphod

PS: Ein guter Annsatz für derlei und viele andere Probleme ist im übrigen das "Teubner-Taschenbuch der Mathematik" (B.G. Teubner Verlagsgesellschaft).

23.11.2004, 14:05

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RE: Integral berechnen
( Willkommen

Fehlt bloß noch, dass Ford Prefect auftaucht... Prost

)

Zitat:

Original von Zaphod Beeblebrox
$\begin{eqnarray*} [3.2] \quad \int_{0}^{\infty}\frac{sin \, 3 x}{4x} dx \end{eqnarray*}$ .

Es gibt auch noch sowas wie Substitution (z=3x) ...
(Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht.)

23.11.2004, 14:24

Zaphod Beeblebrox

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RE: Integral berechnen

Zitat:

Es gibt auch noch sowas wie Substitution (z=3x) ...

Vielen Dank für den Tip Gott

.
Ist mir bloß ein bisschen peinlich, das mir das nicht selbst eingefallen ist.

Vielleicht hätte ich Trillian fragen sollen Big Laugh

Die hatte sich schließlich eine Auszeichnung in Astrophysik verdient und in Mathematik promoviert.

23.11.2004, 20:44

Helpless

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RE: Integral berechnen
Danke an alle!
Mit den gegebenen Hinweisen als 'Inspiration' hab ich es folgendermaßen gelöst:

$\begin{eqnarray*} \sin^3(x)=\left(\frac{1}{2i}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)\right)^3=\cdots=\frac{3}{4}\sin(x)-\frac{1}{4}\sin(3x) \end{eqnarray*}$

Und erhalte damit:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty\frac{\sin^3(x)}{x}~dx=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

24.11.2004, 16:55

Zaphod Beeblebrox

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RE: Integral berechnen
Korrekt.

Lösungsweg für alle die es sonst noch interessiert:

Aufgabe:

Zu lösen ist das Integral

$\begin{eqnarray*} [1.1] \qquad \int_{0}^{\infty} \frac{sin^{3}x}{x}dx \end{eqnarray*}$

unter Zuhilfenahme des bekannten Integrals

$\begin{eqnarray*} [1.2] \qquad \int_{0}^{\infty} \frac{sin\,x}{x}dx = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Lösung:

Vorbetrachtung:

$\begin{eqnarray*} [2] \qquad sin^{3}x = \frac{1}{4}(3sin\,x-sin\,3x) \end{eqnarray*}$

Umformung des Integrals [1.1] mit [2]:

$\begin{eqnarray*} [3] \qquad \int_{0}^{\infty} \frac{sin^{3}x}{x}dx \,=\, \int_{0}^{\infty} \frac{3sin\,x-sin\,3x}{4x}dx \,=\, \int_{0}^{\infty} \frac{3sin\,x}{4x}dx-\int_{0}^{\infty} \frac{sin\,3x}{4x}dx \,=\, \underbrace{\frac{3}{4}\int_{0}^{\infty} \frac{sin\,x}{x}dx}_{[3.1]} - \underbrace{\frac{1}{4}\int_{0}^{\infty} \frac{sin\,3x}{x}dx}_{[3.2]} \end{eqnarray*}$

Lösen des Integrals [1.1] durch Lösung seiner Teilintegrale [3.1] und [3.2]:

1.) Die Lösung des Integrals [3.1] ergibt sich nach [1.2] zu

$\begin{eqnarray*} [4] \qquad \frac{3}{4}\int_{0}^{\infty} \frac{sin\,x}{x}dx = \frac{3}{4} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{8} \end{eqnarray*}$

2.) Die Lösung des Integrals [3.2] ergibt sich durch Substitution ([5]) und erneute Anwendung von [1.2] zu ([6])

$\begin{eqnarray*} [5] \qquad z=3x \quad \Rightarrow \quad x=\frac{z}{3} \quad \mbox{und} \quad \frac{dz}{dx}=3 \quad \Rightarrow \quad dx=\frac{dz}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [6] \qquad \frac{1}{4}\int_{0}^{\infty} \frac{sin\,3x}{x}dx \,=\, \frac{1}{4}\int_{0}^{\infty} \frac{sin\,z}{\frac{z}{3}}\frac{dz}{3} \,=\, \frac{1}{4}\int_{0}^{\infty} \frac{sin\,z}{z}{dz} \,=\, \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{2} \,=\, \frac{\pi}{8} \end{eqnarray*}$

3.) Das Zusammenführen beider Lösungen [4] und [6] gemäß [3] läßt die Gesamtlösung des Integrals [1.1] entstehen

$\begin{eqnarray*} [7] \qquad \int_{0}^{\infty} \frac{sin^{3}x}{x}dx \,=\, \frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

Zaphod

24.11.2004, 17:05

Calahan

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RE: Integral berechnen

Zitat:

Original von Zaphod Beeblebrox

Umformung des Integrals [1.1] mit [2]:

$\begin{eqnarray*} [3] \qquad \int_{0}^{\infty} \frac{sin^{3}x}{x}dx \,=\, \int_{0}^{\infty} \frac{3sin\,x-sin\,3x}{4x}dx \,=\, \int_{0}^{\infty} \frac{3sin\,x}{4x}dx-\int_{0}^{\infty} \frac{sin\,3x}{4x}dx \end{eqnarray*}$

Für obige Operation sollte allerdings zunächst die Existenz von $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \frac{sin^{3}x}{x}dx \end{eqnarray*}$ gezeigt werden.
Oder man schreibt's anders auf.

24.11.2004, 17:12

Zaphod Beeblebrox

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RE: Integral berechnen
stimmt schon.
aber den hab ich hier einfach vorausgesetzt um den lösungsweg in möglichst kurzer form darstellen zu können.

24.11.2004, 20:06

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RE: Integral berechnen

Zitat:

Original von Calahan
Für obige Operation sollte allerdings zunächst die Existenz von $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \frac{sin^{3}x}{x}dx \end{eqnarray*}$ gezeigt werden.

Ist übrigens ein schönes Beispiel dafür, für ein (uneigentliches) Riemann-Integral mit endlichem Integralwert, dessen zugehöriges Lebesgue-Integral
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \frac{sin^{3}x}{x}~\nu(dx)\qquad [\nu\ldots \mbox{Lebesgue-Borel-Maß auf}~R^1] \end{eqnarray*}$
überhaupt nicht existiert.

Für alle, die nix mit Maßtheorie am Hut haben - vergesst diese Bemerkung.

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