Konvergenz

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py1s1kbAu3r Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz
hallo mathepr0fis Mit Zunge
könnt ihr mir helfen die folgende folgeauf konvergenz zu prüfen?

a(n)= a-reell

danke schon mal im voraus

Idee! ?
murray Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz
schon mal mit limes und Doppelbruch probiert?

mfg
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

muss das vielleicht a(n+1) = ... heißen, weil sonst ist ja an über sich selbst definiert und ich vermute mal, da muss sowas wie ne rekursion hin, oder?
dann fehlt aber ein a1 oder a0 oder sowas.

also wenn die behauptung wie sie da steht stimmen soll für alle n, dann muss an=0 sein für alle n....

oder habe ich da jetzt was komplett missverstanden?

mfg jochen
py1s1kbAu3r Auf diesen Beitrag antworten »

also die aufgabe wurde so gestellt wie sie dasteht. naja nicht ganz: das n was links vom gleichheitszeichen steht, ist ein indizes von a.

ich hoffe jetzt kannst du mir helfen Gott
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

@LOED

Ja, das hast du sicher missverstanden Augenzwinkern Das könnte ja eine nichtrekursive Folge sein. Setze für n die natürlichen Zahlen ein, dann bekommst du eine Zahlenfolge Augenzwinkern

Nun aber zum Fragesteller

Klammer mal im Nenner a^n aus und kürze es mit dem Zähler. Bilde dann den Grenzwert für n gegen unendlich.

Wenn es noch Probleme gibt, dann stelle konkrete Fragen smile
py1s1kbAu3r Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hilfe bisher!

Ich denke aber, dass es leider nicht ganz so einfach ist. Denn für a>0 konvergiert die Folge gegen 1.
Für a=0 ergibt sich ne konstante Folge, oder?
Für a<0 ergibt sich sich eine Folge, die (bei konstantem a) für alle geraden n sich von unten der 1 nähert und für alle ungeraden n sich von oben der 1 nähert. Konvergiert die Folge dann auch für a<0?

Gruß der bAu3r
 
 
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Überlegungen sind soweit in Ordnung, aber noch nicht vollständig. Für a=0 ergibt sich die konstante Folge a_n=0. Also ist hier der Grenzwert 0.

Da die Folge für a<-1 (achte darauf, dass ich hier nicht 0 geschrieben habe!) immer hin und herspringt und die Folgenglieder dabei immer näher an 1 bzw. -1 rankommen, ist diese Folge nicht konvergent. Wenn du dir die Definition für "konvergente Folgen" anschaust, wird das auch nochmal deutlich. Es existieren lediglich die zwei Häufungspunkte 1 und -1.

Was gilt denn eigentlich für 0<a<1 und -1<a<0?

EDIT Und was gilt für a=1? Und was für a=-1?
py1s1kbAu3r Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal,

also für a=1 konstante Folge
für a=-1 n. def. für ungerade n

Wie kommst du darauf, dass es zwei häufungswerte gibt für a<-1?

Muss man die ganzen Fälle dann hinschreiben?

Gruß bauer
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
@LOED

Ja, das hast du sicher missverstanden


sorry hatte ganz übersehen, das da a^n steht... hatte das versehentlich für an gehalten....
ohje ich sollte meine augen besser aufmachen...

mfg jochen
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Die ganzen Fälle mußt du alle hinschreiben. Schließlich gibt es jeweils andere Ergebnisse. Die Fälle sind übrigens die folgenden: (was du schon rausgefunden hast, habe ich ergänzt)

a<-1:
a=-1:
-1<a-0:
a=0: konstante Funktion (welcher Grenzwert?)
0<a<1:
a=1: konstante Funktion (welcher Grenzwert?)
a>1:

Und wie ich auf die Häufungspunkte komme:
Wie ist denn dein Wissen über Häufungspunkte? Du hast doch festgestellt, dass die Folgenglieder immer abwechselnd positiv und negativ sind. Die positiven kommen immer näher an die 1 ran, die negativen an die -1. Mathematisch korrekt formuliert heißt das, dass hier 2 konvergente Teilfolgen existieren, die jeweils einen anderen Grenzwert haben. Der Grenzwert einer Teilfolge ist Häufungspunkt der Folge. Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn sie genau einen Häufungspunkt hat.

Soweit klar?

Aber jetzt erstmal über die obigen Fälle Gedanken machen smile
py1s1kbAu3r Auf diesen Beitrag antworten »

a<-1: kein gw
a=-1: nicht definiert
-1<a-0: kein gw
a=0: konstante Funktion (0)
0<a<1: gw=0
a=1: konstante Funktion (0,5)
a>1: gw=1
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Fast alles richtig. Aber für -1<a<0 existiert ein Grenzwert. Schaue dir nochmal genau die Definition für den Grenzwert an und überlege, wie sich die Folgenglieder verhalten.

Die Formale Definition für den Grenzwert ist die folgende:
b ist Grenzwert der Folge , genau dann wenn

Oder in Worten ausgedrückt (aus einem anderen Thread kopiert)
Zitat:
Eine Zahlenfolge an nähert sich beliebig genau einem Grenzwert b wenn jede Umgebung von b fast alle an enthält (d. h. nur endlich viele an liegen ausserhalb der jeweiligen Umgebung)
py1s1kbAu3r Auf diesen Beitrag antworten »

Also für a= -0,5 komme ich für n=2 auf 0,2 und für n=3 auf -0,14 ?

Somit dürfte kein Grenzwert existieren, oder bin ich jetzt völlig verpeilt?
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

2 und 3 sind aber noch lange keine großen Zahlen Augenzwinkern Du mußt den Grenzwert für n gegen unendlich bilden.
Schaue dir mal nur die Folgenglieder für gerade n an. Wie ist da der Grenzwert?
Schaue dir nun nur die Folgenglieder für ungerade n an. Wie ist da der Grenzwert?
Gibt es noch weitere Folgenglieder, die du bei den beiden oberen Überlegungen nicht betrachtet hast? Hast du nun eine Idee, wie der Grenzwert der Folge sein könnte?

Da kannst du sehr gut mit Teilfolgen argumentieren, falls du das schon hattest.
py1s1kbAu3r Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dass war jetzt nicht so deutlich ausgedrückt.
Für n=4 (nur als Bsp.) kommt man auf 0,06. Also entsteht bei zwischen allen geraden und ungeraden n ein vorzeichenwechsel und trotzdem existiert ein gw?
Wenn ich die ungeraden n als Teilfolge und die geraden n auch als solche betrachte, dann konvergieren beide gegen 0!
Aber aus unterschiedlicher Richtung. Somit kann doch kein GW existieren, oder?
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Nach der Definition des Grenzwertes kann dieser auch bei einer alternierenden Folge existieren (wenn die Folgenglieder abwechselnd positiv und negativ sind). Schau mal in den Thread http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=9400 an. Der letzte Beitrag dürfte der sein, der die Sache am anschaulichsten erklärt.

Du kannst also einen beliebig kleinen Gürtel um den Grenzwert 0 bilden, und trotzdem liegen irgendwann alle weiteren Folgenglieder innerhalb dieses Gürtels.

Ich gehe mal davon aus, dass du von Häufungspunkten noch nichts weißt, oder? Falls doch, dann kann man sagen, dass die Folge a_n genau einen Häufungspunkt hat, da alle Teilfolgen gegen den selben Wert konvergieren. Dieser ist dann der Grenzwert.
py1s1kbAu3r Auf diesen Beitrag antworten »

1<a-0: GW= 0
dann sollte aber auch für a<-1 ein GW (=1) existieren,oder?
Wie kann ich nun vorgehen, wenn eine untersuchung auf konvergenz verlangt wird. Einfach alle Grenzwerte hinschreiben sollte da doch nicht ausreichen, oder?
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