Extremwertaufgabe - Kegel in Kugel

Neue Frage »

Liselow Auf diesen Beitrag antworten »
komplexere Extremwertprobleme
Ich habe so eine ähnliche Aufgabe zu bearbeiten, die ich vorstellen soll. Wobei ich schon ne Weile dransitz und komm auf keinen grünen Zweig unglücklich

"eine Metallkugel soll so bearbeitet werden, dass ein Kegel mit möglichst großem Volumen ensteht. Wie sind Höhe und Radius des Kegels zu wählen?"

Hört sich einfach an, ist es vielleicht sogar auch für viele. Ich komm nur so schlecht ohne Zahlen klar :l Kann mir jemand vielleicht Hilfe leisten?
Vielen Dank im vorraus!
cleverclogs Auf diesen Beitrag antworten »

Dies ist eine klassische Aufgabe und ist ganz bestimmt in den meisten Lehrbücher zu finden! Lehrer

cleverclogs
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

@Liselow: für neue Aufgaben solltest du besser auch einen neuen Thread aufmachen.

zur Aufgabe: wie immer hilft eine Skizze. Die Arbeit habe ich mal für dich gemacht.
In der Skizze sind:
Strecke AB: der Radius r des Kegels
Strecke BC: die Höhe h des Kegels
Strecke AM: der Radius R der Kugel

Jetzt stelle eine Formel für das Volumen des Kegels auf und bringe die Größen R, r und h über eine Formel in Beziehung. Tipp: Satz des Pythagoras.
Liselow Auf diesen Beitrag antworten »

Das Volumen eines Kegels: V=1/3 G*h
Da die Grundfläches eines Kegels ein Kreis ist ->
folglich ist das Volumen des Kegels

= Strecke MB ( h des Dreiecks AMB)







ModEdit: LaTex verbessert. Du musst den LaTex-Term zwischen
code:
1:
[latex] ... [/latex]
zeilenweise einschließen. Ausdruck markieren und oben auf das f(x) Kästchen klicken. mY+
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Liselow
R^2-r^2= Strecke MB ( h des Dreiecks AMB)

Erstens müßte es R² - r² = (Strecke MB)² heißen
und zweitens ist die Bezeichnung h ungünstig, weil ich h schon für die Strecke BC = Höhe des Kegels verwendet habe. Wenn wir die Strecke MB mit h2 bezeichnen, dann haben wir:


Drücke nun h_2 durch h und R aus. Bedenke: auch die Strecke MC ist gleich R.
Liselow Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Höhe des Kegels nicht R+Wurzel aus {R^2-r^2} ?
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist sie.

Versuche nun jetzt mal LaTex. Sh. ModEdit in deinem Beitag davor.

Wurzel = \sqrt{...}

mY+
Liselow Auf diesen Beitrag antworten »



Freude
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

smile
Liselow Auf diesen Beitrag antworten »

Nun gut wir haben die Höhe, auch im Verhältnis zum Radius. Jetzt müssen diese so gewählt werden, dass das Volumen des Kegels gleich maxium ist.
Oder haben wir das dadurch schon erledigt?*mal ganz dumm frag*
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher nicht, denn jetzt geht's erst richtig los Big Laugh

Diese Beziehung, die du jetzt errechnet hast, ist erst die Nebenbedingung.

Falls du nun mit der Wurzel weiterrechnest, wirst du in arge Schwierigkeiten kommen, denn die Rechnerei wird bald ziemlich wüst, wenn nicht gar unlösbar.
Daher formst du (die Nebenbedingung) etwas um (ein Trick, den man sich merken sollte):









jetzt reduziert sich ... und nun bist du am Zug!

mY+
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das nicht zu kompliziert ?

Wenn du die Strecke MB als freie Variable x einführst dann lässt sich
die Volumenformel 'direkt' hinschreiben.

V(x) = h*G/3 = (R+x) * (R^2-x^2)*pi / 3
...
...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

@Poff: Ich gebe zu, daß dein Weg eine Idee direkter ist. Aber als sonderlich kompliziert würde ich den bislang gezeigten Lösungsweg nicht ansehen. Und da ich mir die Mühe gemacht hatte, eine Skizze zu erstellen, wäre es schön, wenn man die dort eingeführten Bezeichnungen jetzt mal beibehalten könnte. Augenzwinkern

Mit "meinen" Bezeichnungen haben wir für das Kegelvolumen:


Aus der Nebenbedingung wissen wir:


Das noch nach r² umstellen und in die Formel für das Volumen einsetzen.
Liselow Auf diesen Beitrag antworten »



->

->

Nun in die Formel für das Volumen eingesetzt

->
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Liselow


Da hast du was vergessen:


Ansonsten ok. Das Volumen V ist jetzt nur noch von h abhängig. Alles andere sind Konstanten. Mit den Methoden der Differentialrechnung kannst du davon das Maximum bestimmen.
Liselow Auf diesen Beitrag antworten »



notw. Bed.: V'(h)=
V'(h)=0
Nullstellen: x1=
x2=0

hinr.Bed.: V''(
V''(0)= 4,19*R

soweit so gut?
Liselow Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Liselow
notw. Bed.: V'(h)=


Das müsste
notw. Bed.: V'(h)=
heißen Augenzwinkern
Liselow Auf diesen Beitrag antworten »

Das würde ja quasi heiße, das Maximum von h ist gleich:


wenn ich nun aber den gleichen weg mit dem Radius versuche, d.h.
h in der V(h)-Gleichung ersetzt, mit Ableitungen und allem, kommt nur Quark raus unglücklich
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Liselow
Das müsste
notw. Bed.: V'(h)=
heißen Augenzwinkern

Besser:


notw. Bedingung für Extremwert: V'(h)=0

Zitat:
Original von Liselow
Das würde ja quasi heiße, das Maximum von h ist gleich:


Wieso? verwirrt Wo kommt denn die 4,19 her?
Nebenbei geht es nicht um das Maximum von h, sondern um das maximale Volumen des Kegels.

Zitat:
Original von Liselow
wenn ich nun aber den gleichen weg mit dem Radius versuche, d.h.
h in der V(h)-Gleichung ersetzt, mit Ableitungen und allem, kommt nur Quark raus unglücklich

Verstehe nicht, was du da rechnest.
Liselow Auf diesen Beitrag antworten »

Naja aber die Höhe h und der Radius sollen ja so gewählt sein, dass das Volumen maximal wird. Also müssen wir h und r bestimmten.
4,19*R kommt von der hinreichenden Bed. wenn ich
einsetze.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich Also irgendwie ist mir das ganze zu chaotisch.
Ich fasse daher mal zusammen:

Wir haben



Aus notwendiger Bedingung V'(h)=0 folgt: oder h=0



==> Minimum

==> Maximum

Bitte Ausdrücke mit pi stehen lassen und nicht ausrechnen, sonst muß man sich fragen, wo so (im Grunde falsche) Zahlen wie 4,19 herkommen.
Liselow Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, jetzt wird das ganze gleich viel klarer Idee!

Und wie kommt man nun auf h bzw. r?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe die Frage nicht. Welches h bzw. welches r?
Liselow Auf diesen Beitrag antworten »

siehe Aufgabe
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige bitte, aber du solltest auch etwas tun. Und das mindeste wäre, daß du das, was du nicht verstehst, mindestens mal mit 2 bis 3 Sätzen erläuterst.

Wir haben oben ausgerechnet, daß bei ein Maximum ist. Jetzt brauchst du das für das r nur einsetzen:

Zitat:
Original von Liselow
->
Liselow Auf diesen Beitrag antworten »

Ich entschuldige mich, für meine schnelle Antwort. Ich war da grad auf dem Sprung... Forum Kloppe
Ich danke euch und vorallem dir/Ihnen klarsoweit für die Hilfe bei der Aufgabe. Das hat mir quasi den "Arsch" gerettet. geschockt
Vielen herzlichen Dank!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »