Körperaxiome

24.11.2004, 12:29

KatMat

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Körperaxiome

Hallo,
ich bräuchte bei folgender Aufgabe Hilfe:

"Es sei (K,+,*) ein Körper.Zeigen Sie unter Verwendung der Körperaxiome:
a) für alle x e K gilt: 0*x=0
b) für alle x e K gilt: -x=(-1)*x
c) für alle x e K gilt: -(-x)=x
d) für alle x,y e K gilt: (-x)*(-y)=x*y
e) für alle x,y e K gilt: x*y=0 <--> x=0 v y=0"

Wie muss ich denn das darstellen?

Katmat

24.11.2004, 13:37

therisen

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Ich helf dir mal für a)

$\begin{eqnarray*} 0*x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (x+(-x))*x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x*x+(-x*x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x*x+(-(x*x))=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 0=0 \end{eqnarray*}$

So in etwa könnte das aussehen. Du musst also mit den Axiomen arbeiten.

Gruß, therisen

24.11.2004, 14:18

KatMat

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Hallo Therisen,

dann gibt es vermutlich mehrere Lösungen bzw. Wege dies zu zeigen?
Was kann ich den alles voraussetzen? Alle Definitionen der Axiome?

Katmat

24.11.2004, 14:22

therisen

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Zitat:

Original von KatMat
dann gibt es vermutlich mehrere Lösungen bzw. Wege dies zu zeigen?
Was kann ich den alles voraussetzen? Alle Definitionen der Axiome?

Du kannst und musst die Körperaxiome voraussetzen. Daraus musst du dann die Behauptungen herleiten.

Gruß, therisen

24.11.2004, 14:41

Philipp-ER

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Zitat:

Original von therisen
Ich helf dir mal für a)

$\begin{eqnarray*} 0*x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (x+(-x))*x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x*x+(-x*x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x*x+(-(x*x))=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 0=0 \end{eqnarray*}$

So in etwa könnte das aussehen. Du musst also mit den Axiomen arbeiten.

Gruß, therisen

Wie kommst du von der 3. auf die 4. Zeile? Woher weißt du, dass $\begin{eqnarray*} (-x)\cdot x=-(x\cdot x) \end{eqnarray*}$ gilt?
Man muss schon sehr vorsichtig sein, um nicht aus Versehen Sachen zu benutzen, die in Wirklichkeit noch gar nicht bewiesen sind.
Für 0*x=0 würde ich eher den Ansatz
$\begin{eqnarray*} 0\cdot x=(0+0)\cdot x \end{eqnarray*}$
vorschlagen.

24.11.2004, 14:49

cheetah_83

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also für a) könnte ich auch noch ne lösung anbieten
0*x= (0 + 0)*x /neutrales element der addition
= 0*x + 0*x /distributivgesetz (?)
daraus folgt 0*x muss neutrales element der addition sein
also 0*x=0

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24.11.2004, 15:13

therisen

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Zitat:

Original von Philipp-ER
Woher weißt du, dass $\begin{eqnarray*} (-x)\cdot x=-(x\cdot x) \end{eqnarray*}$ gilt?
Man muss schon sehr vorsichtig sein, um nicht aus Versehen Sachen zu benutzen, die in Wirklichkeit noch gar nicht bewiesen sind.

OK, hab das nen bisschen zu kurz gehalten.

Hilfslemma Big Laugh

Big Laugh

:

$\begin{eqnarray*} (-x)\cdot x = (-1\cdot x)\cdot x = x\cdot(-1\cdot x) = x\cdot (x\cdot (-1)) = (x\cdot x)\cdot (-1) = (-1)\cdot (x\cdot x) = -(x\cdot x) \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

24.11.2004, 15:23

Philipp-ER

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Und wie kommst du auf
$\begin{eqnarray*} (-1)\cdot x=-x \end{eqnarray*}$ ?

24.11.2004, 16:43

therisen

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Ok, Hilfshilfslemma:

$\begin{eqnarray*} (-1)\cdot x = (-x\cdot x^{-1})\cdot x = x \cdot (-x\cdot x^{-1}) = x \cdot (x^{-1}\cdot (-x)) = (x\cdot x^{-1})\cdot (-x) = 1 \cdot (-x) = (-x)\cdot 1 = -x \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

24.11.2004, 17:38

WebFritzi

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Und wie kommst du auf

$\begin{eqnarray*} -1 = -x\cdot x^{-1}\;? \end{eqnarray*}$

Und überhaupt. Ist $\begin{eqnarray*} -x\cdot x^{-1} \end{eqnarray*}$ nun

$\begin{eqnarray*} (-x)\cdot x^{-1} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} -(x\cdot x^{-1})\;? \end{eqnarray*}$

EDIT: Ach ja, und deine Äquivalenzpfeile solltest du schleunigst in Gleichheitszeichen umwandeln.

24.11.2004, 20:13

therisen

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Zitat:

Original von Philipp-ER
Woher weißt du, dass $\begin{eqnarray*} (-x)\cdot x=-(x\cdot x) \end{eqnarray*}$ gilt?

Ich fang nochmal neu an. Ich zeig jetzt, dass $\begin{eqnarray*} (-x)\cdot x=-(x\cdot x) \end{eqnarray*}$ gilt und dann gilt auch mein Beweis.

Eindeutigkeitsbeweis des additiven Elementes durch Widerspruch:
$\begin{eqnarray*} a+b=0 \Rightarrow (-a)+(a+b)=(-a)+0=-a \Rightarrow-a=((-a)+a)+b=0+b=b \end{eqnarray*}$

Jetzt zeig ich: $\begin{eqnarray*} (-1)a=-a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+(-1)=0 \Rightarrow a(1+(-1))=a \cdot 0 =0 \Rightarrow a \cdot 1+a(-1)=0 \Rightarrow a+(-1)a=0 \Rightarrow (-1)a=-a \end{eqnarray*}$ (wegen der Eindeutigkeit des additiv inversen Elements)

Nun zurück zum Problem: $\begin{eqnarray*} (-x)\cdot x=-(x\cdot x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-x)\cdot x = ((-1)(x)) \cdot x = (-1)(x) \cdot x =(-1)((x) \cdot x)=(-1)(x \cdot x)=-(x \cdot x) \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

24.11.2004, 20:21

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von therisen
Jetzt zeig ich: $\begin{eqnarray*} (-1)a=-a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+(-1)=0 \Rightarrow a(1+(-1))=a \cdot 0 =0 \Rightarrow a \cdot 1+a(-1)=0 \Rightarrow a+(-1)a=0 \Rightarrow (-1)a=-a \end{eqnarray*}$ (wegen der Eindeutigkeit des additiv inversen Elements)

Bei $\begin{eqnarray*} a\cdot 0=0 \end{eqnarray*}$ benutzt du aber das, was oben bewiesen werden soll Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.11.2004, 20:26

therisen

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Ok, dann vergesst meinen Ansatz. Ich kann es nicht anders beweisen. Tut mir leid.

24.11.2004, 22:12

starbug

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Hallo liebe Mathegemeinde,

ich fand das Problem so intreressant, dass ich jetzt auch gerne noch die "richtige" Lösung sehen würde....

Vielleicht macht da unser Mathespezialschüler einen Vorschlag...

Grüße
starbug

24.11.2004, 22:22

BraiNFrosT

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Das ist der beste Ansatz, denke ich :

Zitat:

Original von Philipp-ER
Für 0*x=0 würde ich eher den Ansatz
$\begin{eqnarray*} 0\cdot x=(0+0)\cdot x \end{eqnarray*}$
vorschlagen.

25.11.2004, 12:52

KatMat

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Hallo,
bin auch noch da. smile

smile

Ok, 0*x=(0+0)*x ist der Beweis für 0*x=0.

Könnte mir bitte kurz noch jemand erklären, wie ihr darauf schließt? verwirrt

verwirrt

Vielen Dank.

katmat

25.11.2004, 13:44

Mathespezialschüler

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0*x+0=0*x=(0+0)*x=0*x+0*x

auf beiden Seite +(-0*x) und fertig.

25.11.2004, 15:57

WebFritzi

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ODER (ohne Gleichungsäquivalenz):

$\begin{eqnarray*} 0\cdot x = (0+0)\cdot x = 0\cdot x + 0\cdot x\;. \end{eqnarray*}$

Damit folgt

$\begin{eqnarray*} 0\cdot x = 0\cdot x + (0\cdot x + (-(0\cdot x))) = (0\cdot x + 0\cdot x) + (-(0\cdot x)) = 0\cdot x + (-(0\cdot x)) = 0\;. \end{eqnarray*}$

25.11.2004, 19:14

KatMat

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...vermutlich haltet ihr mich jetzt für komplett dumm, aber ich weiß nicht wie ihr drauf kommt!

0*x=0 (dann setzt man für die 0, (0+0)*x ein ?!?warum denn?)
und warum beweist 0*x=0*x+0*x das 0*x=0 ist?

Ich bin wohl ein hoffnungsloser Fall für die Mathematik! traurig

traurig

katmat

25.11.2004, 19:45

cheetah_83

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Zitat:

Original von KatMat
...vermutlich haltet ihr mich jetzt für komplett dumm, aber ich weiß nicht wie ihr drauf kommt!

0*x=0 (dann setzt man für die 0, (0+0)*x ein ?!?warum denn?)
und warum beweist 0*x=0*x+0*x das 0*x=0 ist?

Ich bin wohl ein hoffnungsloser Fall für die Mathematik! traurig

traurig

katmat

wenn 0*x=0*x+0*x dann muss 0*x das neutrale element der addition sein und das ist 0
also 0*x=0

25.11.2004, 19:47

WebFritzi

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Zitat:

Original von KatMat
0*x=0 (dann setzt man für die 0, (0+0)*x ein ?!?warum denn?)

Es gibt da keine Begründung. Man kann es einsetzen. Basta! Und dann mal schauen, was sich ergibt. Mathematik besteht nicht aus Regeln, die du anwendest. Ein Irrtum, dem viele Menschen unterlegen sind. Man muss kreativ sein. Kreativität ist auch etwas, was die meisten Menschen nicht mit der Mathematik (gerade nicht mit dieser!) verbinden. Aber du siehst selbst: Kreativität ist gefragt.

Zitat:

Original von KatMat
und warum beweist 0*x=0*x+0*x das 0*x=0 ist?

Das habe ich doch schon einen Beitrag vor deinem geschrieben. Aber leichter für dich ist sicherlich Mathespezialschülers "Methode". 0*x = 0*x + 0*x ist eine Gleichung. Jetzt addierst du einfach auf beiden Seiten -(0*x). Das ist das inverse Element der Addition von 0*x. 0*x + (-(0*x)) hebt sich also auf und ergibt das neutrale Element der Addtion, nämlich die 0. Auf der linken Seite steht also 0 und auf der rechten 0*x + 0, also 0*x. Insgesamt: 0 = 0*x. Und das war zu zeigen.

25.11.2004, 20:40

KatMat

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Hm...das war (ist) wohl mein Fehler, bisher habe ich halt immer verzweifelt nach einer Regel gesucht!
Am besten ich probiere mal die nächsten Aufgaben selbstständig zu lösen, vielleicht habe ich auch mal so einen Geistesblitz.

Zumindest bin ich jetzt mal einen Schritt weiter als vorher,
vielen Dank für Eure Unterstützung,
bis demnächst. Wink

Wink

katmat

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