Vektorräume

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klops Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorräume
Hallo hier ist der klops....ich hab da kleines problem und da sliegt wahrscheinlich bei mathe.... verwirrt

Ich muss diese aufgaben lösen und es wäre toll wenn mir jemand helfen könnte....ich bin schon am verzweifeln traurig

1. Sei V ein K- Vektorraum. Beweisen sie:
a) alle v elemntV: 0*v=o
b) alle lambda element K: lambda*o=o
c) alle lambda element K,v element V: lambda*v=o --> lambda=0 oder v=0
d) alle v element V: (-1)*v=-v

2. Beweisen sie: Drei Punkte a,b,c element R^n (a ist nicht b) einer geraden seien gegeben. Dann gibt es Zahlen alpha,beta element R, so dass c= alpha*a + beta*b mit alpha + beta =1 und es íst -beta\alpha= TV /(A,B,C) sowie -alpha\beta = TV(B,A,C).

Ich hoffe mir kann jemand helfen...ich weiß ich sollte das studium aufgeben, aber ich will nicht traurig traurig traurig
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorräume
Hallo Klops,

Beweisen ist in dem Zusammenhang euphemistisch ausgedrückt, Du sollst die Sachen aus der Definition eines Vektorraums herleiten, dazu musst Du wissen, z.B. wie man einen Vektor mit einem multipliziert. Und dann noch die verschiedenen Nullen, die es gibt, sauber auseinanderhalten. Es ist eine Hinschreibeaufgabe, also z.B.

(a) 0 ist die Null (das Einselement der Addition) aus K, ist der Nullvektor in V und ist irgendein Vektor
w.z.b.w.

Also auf dieselbe Weise fährst Du fort mit den anderen Sachen, und bei der Geradenaufgabe überlegst Du Dir, dass das Schulmathematik in der Sprache der Vektorräume ist: es hilft, es sich im R^3 erstmal klarzumachen und dann in der Vektorraumsprache (mit anderen Worten, bei beliebiger (endlicher) Dimension) auszudrücken.
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorräume
Zitat:
Original von Raumpfleger
...
(a) 0 ist die Null (das Einselement der Addition) aus K, ist der Nullvektor in V und ist irgendein Vektor
w.z.b.w.
...

Hi.
Was soll bedeuten?
Du verwendest hier erstens, dass V endlich dimensional ist und wenn du es auf unendlich dimensionale Vektorräume übertragen willst, musst du verwenden, dass jeder Vektorraum eine Basis hat, was nicht selbstverständlich ist (man braucht ja das Auswahlaxiom, um das zu zeigen).
Schlimmer ist jedoch, dass du bei deinem "Beweis" die zu beweisende Aussage verwendest. Gehen wir mal davon aus, dass V endlich dimensional ist und mit einer Basis ausgestattet ist, so bedeutet ja nichts anderes als und dann verwendest du, wenn ich das richtig sehe, dass , dabei ist das doch gerade zu zeigen.

@klops: Versuche es lieber mal mit
, damit ist a) sehr leicht zu zeigen.
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorräume
Hallo Phillip-ER,

die Basis habe ich stillschweigend vorausgesetzt, das ist nicht korrekt meinerseits (*), Entschuldigung. Sofern eine Basis vorliegt, muss man nicht mehr die Körperaxiome nachweisen, diese sind in der Voraussetzung, dass V ein Vektorraum über K sei und K ein Körper, enthalten. Dann hat ein Vektor v aus V über K Komponenten aus K und dort ist dann 0 v_{i} = 0 ohne weitere Beweislast. Das Schlimmere besteht gar nicht, da es einen Nullvektor in V gibt: Um das zu sehen, ziehst Du die Umkehrbarkeit zu Rate:

"Für alle a, b aus V gibt es ein x aus V, so das a + x = b ist."

und setzt b = a. Also die zu beweisende Aussage wird nicht verwendet, es werden die Eigenschaften der Skalarmultiplikation in V und dann der Multiplikation in K verwendet. Beide sind in den jeweiligen Axiomen enthalten.

(*) "Häufig werden als Vektorräume auch nur die linearen Räume bezeichnet, die eine endliche Basis besitzen" (Bronstein/Semendjajew, 2.4.4.1 Vektorräume) - so genau hat sich die Aufgabe von Klops gar nicht ausgedrückt .
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Hi.
Also du verwendest ja , doch um dies überhaupt erstmal zu zeigen, benötigt man doch , da die Gleichung ausgeschrieben ja nichts anderes bedeutet als , was zu zeigen war, oder?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorräume
Zitat:
Original von Raumpfleger
Sofern eine Basis vorliegt, muss man nicht mehr die Körperaxiome nachweisen, diese sind in der Voraussetzung, dass V ein Vektorraum über K sei und K ein Körper, enthalten.


Das ist auch so, wenn keine Basis vorliegt... K ist eh immer ein Körper. Was gibt es da noch an Körperaxiomen nachzuweisen???


Zitat:
Original von Raumpfleger
Dann hat ein Vektor v aus V über K Komponenten aus K und dort ist dann 0 v_{i} = 0 ohne weitere Beweislast.


Mir scheint, für dich gibt es als n-dimensionalen Vektorraum nur den K^n. Aber es gibt ja noch viel mehrere. OK, die sind alle isomorph zueinander, aber das weiß ja noch keiner, der solche Aufgaben da oben machen soll.

Dein Zitat aus dem Bronstein nehme ich jetzt mal so hin, aber ich möchte trotzdem erwähnen, dass das so nicht stimmt. Ich würde das "häufig" mit "eher selten" ersetzen. Der Begriff des Vektorraumes wird heutzutage axiomatisch eingeführt, und da ist keine Rede von einer Dimension oder ähnlichem. Auch unendlich-dimensionale Räume werden im Allgemeinen als Vektorräume bezeichnet.
 
 
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorräume
Zitat:
Original von WebFritzi
Mir scheint, für dich gibt es als n-dimensionalen Vektorraum nur den K^n. Aber es gibt ja noch viel mehrere. OK, die sind alle isomorph zueinander, aber das weiß ja noch keiner, der solche Aufgaben da oben machen soll.


Der Raum der holomorphen Differentiale über einer kompakten Riemannfläche vom Geschlecht g ist ein g-dimensionaler Vektorraum.

Zitat:
Original von WebFritzi
Dein Zitat aus dem Bronstein nehme ich jetzt mal so hin, aber ich möchte trotzdem erwähnen, dass das so nicht stimmt. Ich würde das "häufig" mit "eher selten" ersetzen. Der Begriff des Vektorraumes wird heutzutage axiomatisch eingeführt, und da ist keine Rede von einer Dimension oder ähnlichem. Auch unendlich-dimensionale Räume werden im Allgemeinen als Vektorräume bezeichnet.


Richtig, die zitierte Ausgabe ist von 1981 und das ist nicht mehr "heutzutage". Kann einer ein Beispiel bringen, bei dem der Begriff des Vektorraums in dieser Allgemeinheit (ohne Verweis auf eine (abzählbare) Basis) zu einer "Anwendung" geführt hat, die nicht im Bereich der Metamathematik liegt?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ klops



zu 2.

Offenbar identifizierst du den als Vektorraum mit dem als Punktraum. Das entnehme ich daraus, daß du Minuskeln schreibst. Dann verstehe ich aber nicht, warum du dann beim Teilverhältnis plötzlich Majuskeln verwendest. Das erscheint mir inkonsequent.


Aber nun zum eigentlichen Beweis. Da



auf einer Geraden liegen sollen, sind die Vektoren linear abhängig, und wegen existiert ein Skalar mit



Jetzt setze einfach



Dann folgt:



Und um die Sache mit dem Teilverhältnis zu bekommen, schreibe


multipliziere aus, dividiere duch und löse nach auf, so daß rechts der Faktor auftritt.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorräume
Zitat:
Original von Raumpfleger
Richtig, die zitierte Ausgabe ist von 1981 und das ist nicht mehr "heutzutage". Kann einer ein Beispiel bringen, bei dem der Begriff des Vektorraums in dieser Allgemeinheit (ohne Verweis auf eine (abzählbare) Basis) zu einer "Anwendung" geführt hat, die nicht im Bereich der Metamathematik liegt?


Muss man denn, wenn man Mathematik betreibt immer nach einer Anwendung fragen?
Warum sagst du hier übrigens "abzählbare Basis"? Es ging doch um endliche vs. nicht-endliche Dimension verwirrt
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorräume
Zitat:
Original von Ben Sisko
Zitat:
Original von Raumpfleger
Richtig, die zitierte Ausgabe ist von 1981 und das ist nicht mehr "heutzutage". Kann einer ein Beispiel bringen, bei dem der Begriff des Vektorraums in dieser Allgemeinheit (ohne Verweis auf eine (abzählbare) Basis) zu einer "Anwendung" geführt hat, die nicht im Bereich der Metamathematik liegt?


Muss man denn, wenn man Mathematik betreibt immer nach einer Anwendung fragen? Warum sagst du hier übrigens "abzählbare Basis"? Es ging doch um endliche vs. nicht-endliche Dimension verwirrt


Man muss nicht nach einer Anwendung fragen, aber diese Frage _kann_ das Verständnis vertiefen. Unter einer Anwendung kann man ein Theorem verstehen, wo jmd. gezeigt hat, dass etwas ein Vektorraum ist, ohne dazu eine Basis anzugeben, somit einen nichtkonstruktiven Existenzbeweis geführt hat, das würde mich einfach interessieren im Zusammenhang mit den Vektorräumen.

Es ging darum, dass in der Axiomatik des Vektorraums gar keine Basis vorkommt und dass die Annahme einer Basis eine unzulässige Voraussetzung für die dem Klops abverlangten Beweise ist. Jetzt habe ich abzählbar gesagt, weil ein Vektorraum mit überabzählbarer Basis doch schon sehr in der Nähe der Metamathematik liegt - ich wollte es den Kollegen nicht so leicht machen mit ihrem Bespiel.
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm' zum Beispiel als -Vektorraum.
Er hat eine Basis (wie jeder Vektorraum, was jedoch nicht trivial ist), es ist jedoch nicht möglich, eine solche anzugeben.
Mit dieser Basis lässt sich zum Beispiel das interessante Resultat erzielen, dass man die positiven reellen Zahlen in 2 diskjunkte, nichtleere Mengen zerlegen kann, die jeweils abgeschlossen unter der Addition sind (auch diese Mengen kann man jedoch nicht angeben).
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorräume
Zitat:
Original von Raumpfleger
Jetzt habe ich abzählbar gesagt, weil ein Vektorraum mit überabzählbarer Basis doch schon sehr in der Nähe der Metamathematik liegt.


*lol* Ganz einfaches Beispiel: Der IR-Vektorraum der reellen Polynome. Eine Basis ist {1, x, x², ...}. Und dieser Raum liegt also "in der Nähe der Metamathematik"...
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »

als -Vektorraum ist ein Beispiel, bei dem die Basis vermutlich überabzählbar ist, aber dieses Beispiel liegt nicht "in der Nähe der Metamathematik". Gut, danke.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Bidde.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorräume
Zitat:
Original von Raumpfleger
Unter einer Anwendung kann man ein Theorem verstehen, wo jmd. gezeigt hat, dass etwas ein Vektorraum ist, ohne dazu eine Basis anzugeben, somit einen nichtkonstruktiven Existenzbeweis geführt hat, das würde mich einfach interessieren im Zusammenhang mit den Vektorräumen.


OK, dann habe ich den Ausdruck "Anwendung" bei dir falsch interpretiert Augenzwinkern

Zitat:
Original von Raumpfleger
Es ging darum, dass in der Axiomatik des Vektorraums gar keine Basis vorkommt und dass die Annahme einer Basis eine unzulässige Voraussetzung für die dem Klops abverlangten Beweise ist.


Es sei denn in der Vorlesung wurde vorher gezeigt, dass jeder VR eine Basis hat.

Gruß vom Ben
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