Vektorraum-Unterräume |
| 24.11.2004, 18:19 | need help | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Vektorraum-Unterräume Sind U1, U2 Unterräume von V, so ist U1 vereinigt U2 genau dann ein Unterraum von v, wenn U1 Teilmenge U2 oder U2 Teilmenge U1 ist. |
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| 24.11.2004, 18:46 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » |
was hast du dir denn bislang überlegt? was muss denn gelten, damit U1 vereinigt U2 ein vektorraum ist? mfg jochen |
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| 24.11.2004, 19:22 | need help | Auf diesen Beitrag antworten » |
Für alle a,b Element U1 vereinigt U2 muss gelten a+b^-1 Element U1 vereinigt U2. Und a*v muss auch Element U1 vereinigt U2 sein, mit a Element K und v Element U1 vereinigt U2. Stimmt das soweit? |
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| 24.11.2004, 19:35 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi. Für die eine Richtung des Beweises (die andere ist ohnehin trivial) empfehle ich einen Widerspruchsbeweis. Nimm an, es wäre weder U1 Teilmenge von U2 noch U2 Teilmenge von U1. Überlege dir erstmal, was das bedeutet, dann sehen wir weiter. |
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| 24.11.2004, 19:37 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » |
zuallererst: hast du bemerkt das du hier eine äquivalenz zeigen must, also 2 richtungen eines implikationspfeils? dabei ist von der richtung U1cU2 oder U2cU1 => U1vereinigtU2 UVR ganz einfach, aber du darfst sie nicht vergessen... nun zur anderen richtung (gegeben nun also die vereinigung ist ein UVR, zz. einer der Us ist Teilmenge des anderen): wenn v in U1vereinigtU2 liegt, dann liegt es entweder in U1 oder in U2 (oder natürlich in beiden). da U1 und U2 beides selbst K-vektorräume sind, liegt dann auch a*v in dem vektorraum, also auch in der vereinigung. damit kommst du nicht weiter. du kommst aber tatsächlich mit der idee, das für alle u1 und u2 in der vereinigung auch u1+u2 drinliegen muss. und jetzt überlege dir mal, wie du u1 und u2 wählen könntest wenn weder U1cU2 noch andersrum gelten würde. evtl. kannst du das auf einen widerspruch führen? (als tip: beachte auch meine namensgebung) mfg jochen |
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