Determinante permutierter Matrizen

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SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante permutierter Matrizen
Nabend Augenzwinkern

Hab hier mal wieder ne Aufgabe bei der ich nen Ansatz brauche :


Seien Matrizen und eine Pemutation.
Zeigen, oder widerlegen sie :






Hab da leider absolut garkeine Idee wie ich da überhaupt anfangen kann.
Hab mal ein paar Beispiele durchgerechnet und dabei rausbekommen, dass die Behauptung eigentlich stimmen müsste

Kann mir da jemand helfen ?

Gruß
Marc
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante permutierter Matrizen
Wenn da "zeigen oder widerlegen Sie" steht, ist das schon ganz schön verdächtig.

Vertausch mal 2 Spalten bei einer Determinante und rechne nochmal.

Grüße Abakus smile
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm eigentlich hab ich genau das gemacht Augenzwinkern

Oder es war nur ein Zufall hmm

Du meintest doch sicherlich 2 Spalten bei der Matrix vertauschen und dann die Determinante berechnen oder ?

Hatte mir zwei 3 x 3 Matrizen genommen und diese Multipliziert und dann die Determinante bestimmt.

Dann hab ich von den beiden Matrizen die erste und zweite Spalte vertauscht und wieder die Matrizen multipliziert. Die Determinante war dann gleich.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

OK, die Behauptung stimmt so (ich hatte sie zunächst falsch gelesen). Begründen kannst du das mit der Multiplikativität:



Es ist klar, dass sich A und B vertauschen lassen und sich das auch induktiv auf endlich viele Matrizen erweitern lässt.

Grüße Abakus smile
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es gilt doch .


Gruß, therisen
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut da habt ihr recht und kennen tue ich diese Aussage auch aber ich sehe da irgendwie nicht den Zusammenhang denn ich muss ja beweisen, dass z.b. :


det(A B) = det(A' B')

mit

und die durch die Permutationen veränderten :





Oder soll ich die Permutation(en) als weitere Matrizen auffassen ?
 
 
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

So wie ich es nun sehe, wird nur die Reihenfolge der Matrizen permutiert (die Permutation wirkt ja auf den Index, der zur Matrix gehört). D.h. die Reihenfolge der Spalten in den Matrizen ändert sich nicht.

Grüße Abakus smile
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Achso alles klar das ändert da natürlich alles Augenzwinkern Interessant das das was ich beweisen wollte auch funktioniert zumindest bei einem Beispiel smile
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm also irgendwie tue ich mich grade sehr schwer damit den Beweis aufzuschreiben. Kann auch sein das ich dabei ein problem übersehe.

Da gilt :

det(AB) = det(A)det(B)

müsste das ganze doch kommutativ sein oder nicht ? also

det(AB) = det(A)det(B) = det(B)det(A) = det(BA)

und dann ist die Aufgabe doch trivial oder ?
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Klappt die Induktion so :


IA: Für k = 2 also gilt nach Vorlesung :





IV: Für k = n also sei die Aussage wahr.


IS: Für k = n+1 also folgt :


Würgs irgendwie weiß ich garnicht was ich aufschreiben soll da es doch gelten muss wenn das kommutativ ist hmm
*need help*
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Achja Kommutativität gilt natürlich nur da meine Matrizen quadratisch sind (n x n).
Muss das auch bewiesen werden `?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SilverBullet
IS: Für k = n+1 also folgt :


Jetzt kannst du zB die ersten n Matrizen zu einer Matrix ausmultiplizieren und vertauschen und dann die IV ausnutzen.

Grüße Abakus smile
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Achja logisch so einfach und trotzdem war ich so fern Augenzwinkern
Danke für den klasse Tipp ! smile
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