zylinder aus kugel ausbohren

25.11.2004, 12:18

irongate984

zylinder aus kugel ausbohren

hab folgendes problem:
aus einer kugel vom radius R wird ein Zylinder vom radius a mittig herausgebohrt (0kleiner gleich a kleiner gleich R).
Wie groß ist das Volumen des verbleibenden Teils?

ich weiß nicht wie ich das volumen von dem zylinder berechnen kann, der hat ja eine gewölbte oberfläche!

cya und danke schonmal

25.11.2004, 12:31

kikira

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RE: zylinder aus kugel ausbohren
Das ist ja egal..die Kugel hat ja auch eine gewölbte Oberfläche.

Wenn du das ganze durchschneidest......ist der Querschnitt ein Kreis mit einem maximal eingeschriebenem Rechteck.
Die Diagonale des Rechtecks ist 2R.

HB: V = r²* pi * h >> max.

NB: 4R² = r² + h²

dann r² aus der Nebenbedingung ausdrücken.......in die HB einsetzen...das ganze ableiten und null setzen

dann bekommst du für h die Zahl raus, bei der das Volumen des Zylinders ein Maximum wird.
Zurückeinsetzen in die Nebenbedingung und du kriegst für r die Zahl raus.
Dann das maximale Volumen ausrechnen und zum Schluß das Kugelvolumen von dem Zylindervolumen abziehen und dann hast das verbleibende Volumen.

lg kiki

25.11.2004, 18:29

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jo, würd ich auch mal so sagen, wobei, ist es nicht so, dass er nur die allgemeine Formel (Abziehen Zylinder von Kugel) und das ohne das maximale Zylindervolumen.

Ein Zylinder ist einfach:

Grundseite (kreis) * Höhe, fertig, wenn du's maximal haben willst, schau dir kikis beitrag an, da steht alles nötige.

25.11.2004, 19:03

Leopold

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@ kikira

Man sollte schon die Frage beantworten, die der Fragesteller stellt - und nicht eine ganz andere.

Ich denke, es ist so gemeint:
Aus einer Kugel vom Radius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ wird ein Zylinder vom Radius $\begin{eqnarray*} a \, , \ 0<a<R \, , \end{eqnarray*}$ einschließlich der beiden aufgesetzten Kugelsegmente ausgebohrt:

$\begin{eqnarray*} V_{\mbox{Rest}} = V_{\mbox{Kugel}} - V_{\mbox{Zylinder}} - 2 \cdot V_{\mbox{Segment}} \end{eqnarray*}$

Ich habe das Folgende erhalten:

$\begin{eqnarray*} V_{\mbox{Rest}} = \frac{4}{3} \pi \left( R^2 - a^2 \right)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Und die Formel für das Kugelsegment findest du hier.

25.11.2004, 19:34

kikira

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Leopold hat Recht.
Daher...sorry.
Wenn man ein Loch durch eine Kugel bohrt, müssen automatisch die Kugelsegmente mitgebohrt werden.
Außerdem ist der Radius des Zylinders ja gegeben.....denn a steht ja für eine gegebene Zahl. Daher braucht man den Radius nicht mehr zu berechnen.
Hab gehudelt.

lg kiki

01.06.2005, 10:34

Brain

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hi leopold,
ich sitz grad über so einer aufgabe, hab auch schon die volumina berechnet, aber ich komm nicht drauf wie du von hier:

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} V_{\mbox{Rest}} = V_{\mbox{Kugel}} - V_{\mbox{Zylinder}} - 2 \cdot V_{\mbox{Segment}} \end{eqnarray*}$

nach da kommst:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} V_{\mbox{Rest}} = \frac{4}{3} \pi \left( R^2 - a^2 \right)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Und die Formel für das Kugelsegment findest du hier.

ich bekomm da nämlich nen ziemlich unübersichtlichen term raus, der sich auch mit gewalt nicht in deinen umformen lässt.

01.06.2005, 13:05

riwe

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mache dir eine skizze, dann erhältst du mit h = höhe der kalotte, H = R - h als höhe des halben zylinders aus
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{\pi} V_{rest}=4R^{3}-6a^{2}(R-h)-h(3a^{2}+h^{2}) \end{eqnarray*}$
und mit
$\begin{eqnarray*} h = R - H = R -\sqrt{R^{2}-a^{2}} \end{eqnarray*}$
nach ein bißchen fußmarsch das gewünschte ergebnis
werner

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