Geom. Beweise m. Hilfe d. Skalarprodukts

16.04.2007, 13:25

f(x)

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Geom. Beweise m. Hilfe d. Skalarprodukts

Hallo!

Ich habe zwei Aufgaben, bei denen mir der Ansatz und das Ziel, worauf es hinaus laufen soll, fehlt.
Die Aufgaben sollen mit der vektoriellen Geometrie und speziell mit dem Gesetz, dass das Skalarprodukt zweier senkrechter Vektoren null ist, lösbar sein.

1. Beweise, dass in einem Drachenviereck die Diagonalen senkrecht zueinander stehen.

2. Beweise den Satz von Thales.

Es wäre schön, wenn mir jemand eine Beweisidee verraten könnte.

Jan

16.04.2007, 14:33

Matti

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ja du hast ja vier punktz in einem drachen A,B;C,D

da kannst du zwei geraden bilden aus den jeweils gegenüberliegenden punkten.

Mit den beiden richtungsvektoren der geraden kannst du dann utersuchen ob die geraden orthogonal zueinander sind oder nicht.

Sprich z.b.g: 0A+r*AC
h: 0B+s*BD

Wenn man AC*BD rechnet muss 0 als ergebnis rauskomen so damit die geraden senkrecht aufeinander liegen.

16.04.2007, 14:37

Einheitskreis

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RE: Geom. Beweise m. Hilfe d. Skalarprodukts
Hallo,
zum Satz des Thales:
zeichne das Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C in den Einheitskreis.

$\begin{eqnarray*} \vec{A}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}; \hspace{10 mm} \vec{B}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix};\hspace{10 mm} \vec{C}=\begin{pmatrix} cosx \\ sinx \end{pmatrix}; \end{eqnarray*}$

Den Rest probiere alleine.

16.04.2007, 14:38

riwe

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zum thales
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AC}=\vec{r}+\vec{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BC}=\vec{x}-\vec{r} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid\vec{x}\mid=\mid\vec{r}\mid=r \end{eqnarray*}$

und jetzt bilde das skalarprodukt

werner

16.04.2007, 15:37

f(x)

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@Einheitskreis:
Deinen Beweisanfang konnte ich beenden.
- Skalarprodukt der Vektoren AC und AB bilden
...
- Da sin²+cos²=1 ist, ist das Skalarprod. gleich null.

@wernerrin & Matti:
Eure Ideen kann ich auch nachvollziehen, aber nicht beenden.
Genauer gesagt fehlt mir eine passende Idee, wie man ausnutzt, dass die Beträge mancher Vektoren gleich sind.
Könnt ihr noch ein bisschen mehr verraten?

Danke, Jan

16.04.2007, 15:50

Matti

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Ganz einfach. wenn man die richtungsvektoren der beiden geraden miteinander multipliziert und als ergebnis 0 rauskommt dann ist bewiesen dass die ebenen zueinander orthogonal sind.
Die formel zum nachweis von orthogonalität lautet so.
wenn die richtungsvektoren nicht zusamen 0 ergeben sind die geraden nicht orthogonal zueinander.

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16.04.2007, 17:03

f(x)

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Aber wie kann man denn AC*BD ausrechnen?

Jan

16.04.2007, 17:05

riwe

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$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=(\vec{r}+\vec{x})\cdot(\vec{x}-\vec{r})=x²-r²=0 \end{eqnarray*}$

na so schwer auch wieder nicht Big Laugh

Big Laugh

werner

edit: belanglose vorzeichen korrigiert

16.04.2007, 17:11

Matti

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Zitat:

Original von wernerrin
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=(\vec{r}+\vec{x})\cdot(\vec{x}-\vec{r})=r²-x²=0 \end{eqnarray*}$

na so schwer auch wieder nicht Big Laugh

Big Laugh

werner

muss es nicht BD sein?

16.04.2007, 17:57

Lazarus

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BD? Im Dreieck ?!

16.04.2007, 18:39

Matti

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Drachenviereck steht dort.
die frage war wie kann man Ac*BD ausrechnen.
Bezieht sich also auf die erste aufgabe

16.04.2007, 19:03

AD

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Aber Werners Beweis ist klar gekennzeichnet der des Thales - also ist deine Anmerkung

Zitat:

Original von Matti

Zitat:

Original von wernerrin
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=(\vec{r}+\vec{x})\cdot(\vec{x}-\vec{r})=r²-x²=0 \end{eqnarray*}$

na so schwer auch wieder nicht Big Laugh

Big Laugh

werner

muss es nicht BD sein?

wenig sinnvoll.

16.04.2007, 19:08

Matti

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ja sicher nur dann hat er falsch auf die frage geantwortet.
kann aber auch mein fehler sein. vielleicht hat er ne frager vorher beantwortet.
kein problem.

16.04.2007, 19:18

riwe

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Zitat:

Original von Matti
ja sicher nur dann hat er falsch auf die frage geantwortet.
kann aber auch mein fehler sein. vielleicht hat er ne frager vorher beantwortet.
kein problem.

sei doch nicht so streitsüchtig.
das war der "übliche" vektorielle beweis des satzes von thales Big Laugh

Big Laugh

statt zu streiten, solltest du eher deine version zum drachenviereck bringen.
ich schiebe dann "meine" vektorielle nach, mit punkt D Big Laugh

Big Laugh

werner

16.04.2007, 19:25

AD

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Dann geb ich mal meinen Senf zur 1.Aufgabe:

Zur Abkürzung bezeichne ich mal

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \overrightarrow{AB},\quad \vec{b} = \overrightarrow{BC},\quad \vec{c} = \overrightarrow{CD},\quad \vec{d} = \overrightarrow{DA} \end{eqnarray*}$ ,

dann gilt $\begin{eqnarray*} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = o \end{eqnarray*}$ schon aus der Definition heraus. Da es ein Drachenviereck ist, gelte o.B.d.A außerdem noch $\begin{eqnarray*} |\vec{a}| = |\vec{b}| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |\vec{c}| = |\vec{d}| \end{eqnarray*}$ .

Nachzuweisen ist z.B. $\begin{eqnarray*} (\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{b}+\vec{c}) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Das kann zum Beispiel so geschehen: $\begin{eqnarray*} \vec{a} + \vec{c} = -(\vec{b} + \vec{d}) \end{eqnarray*}$ quadriert ergibt

$\begin{eqnarray*} \vec{a}^2 + \vec{c}^2 + 2\vec{a}\cdot \vec{c}= \vec{b}^2 + \vec{d}^2 + 2\vec{b}\cdot \vec{d} \end{eqnarray*}$ ,

die Gleichheit der benachbarten Seiten eingesetzt folgt unmittelbar
$\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot \vec{c}= \vec{b}\cdot \vec{d} \end{eqnarray*}$ . Das jetzt noch geeignet in

$\begin{eqnarray*} (\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^2 + \vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c} \end{eqnarray*}$

eingesetzt, ergibt ...

16.04.2007, 19:45

Matti

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jetzt haben wir alle variante durch^^ Big Laugh

Big Laugh

16.04.2007, 21:43

f(x)

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Okay, hab jetzt alles verstanden, danke!

Eine Frage habe ich trotzdem noch an Arthur Dent.
Warum ist a*c = b*d ?

17.04.2007, 09:41

riwe

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ich bin zwar nicht der angesprochene.
das folgt unmittelbar aus der zeile darüber, wegen
---
$\begin{eqnarray*} \vec{a}²=\vec{b}²\quad{ }\wedge\quad{ } \vec{c}²=\vec{d}² \end{eqnarray*}$
werner

17.04.2007, 18:12

AD

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Da ich angesprochen war, bestätige ich noch, was keiner Bestätigung bedarf: Werner hat natürlich Recht, genau das wurde eingesetzt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.04.2007, 21:21

f(x)

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Okay, danke!

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