Faktorzerlegung |
| 05.12.2003, 15:08 | Christin7881 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Faktorzerlegung p(z)= z^4 + 2z^3 - 3z^2 + 2z + 6 mit der NUllstelle z0= 1+i Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen, wie der Ansatz ist |
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| 05.12.2003, 15:12 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wie wäre es denn mit einer Polynomdivision durch z - Nullstelle? |
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| 05.12.2003, 15:17 | jama | Auf diesen Beitrag antworten » |
hi christin, wenn du auf der suche nach nullstellen bist, ist die gleichung ja: 0= z^4 + 2z^3 - 3z^2 + 2z + 6 faktorisieren bedeutet, dass man z^4 + 2z^3 - 3z^2 + 2z + 6 als faktor, also z.b. (....) * (.....) darstellen soll. an dieser stelle kommt die regel "ein produkt ist gleich null, wenn mindestens einer seiner faktoren null ist". einen faktor hast du mit der nullstelle bereits gefunden. wenn z= 1+i, dann gilt auch z - (1+i) = 0. z - (1+i) steht somit in der ersten klammer. ich fasse zusammen: (z - (1+i)) * (.....) = z^4 + 2z^3 - 3z^2 + 2z + 6 die leere klammer gilt es zu errechnen 
nur noch ein stichwort "polynomdivision". viel erfolg!gruß, jama |
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| 06.12.2003, 00:19 | Gust | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Faktorzerlegung 0= z^4 + 2z³ - 3z² + 2z + 6 da das ein Polynom 4.Grades ist (^4), musst du erstmal eine Stelle erraten (da es nur für Polynome 3.Grades eine eindeutige Lösungsformel gibt, die ich allerdings auch nciht kenne): Du versuchst es einfach mit 1, -1, 2, -2, ..., bis du eine hast. In der Schule werden dir eigentlich immer Polynome gegeben, bei denen das relativ schnell gehen müsste, und keine besonders hohe Zahl die niedrigste Nullstelle (die brauchst du) ist. [kleiner Tip: diese ist gerne ein Teiler der Zahl ohne Variable, in dem Fall 6]. Zur verdeutlichung der Plynomdivision: eine Lösung ist -1. --> : (z +1) .(z^4 + 2z³ - 3z² + 2z + 6 ) : ( z + 1 ) = z³ + z² - 4z + 6 - (z^4 + z³) . . . . . . z³ - 3z² . . . . . -(z³ + z²) . . . . . . . . .- 4z² + 2z . . . . . . . . .- (4z² - 4z) . . . . . . . . . . . . . . 6z + 6 . . . . . . . . . . . . . .-(6z + 6) . . . . . . . . . . . . . . ------- [denk dir die Punkte einfach weg, ohne die geht es leider nicht] so, und jetzt das ganze nochmal: Nullstelle rausfinden: [-3] und durch das "Gegenteil" dividieren: .( z³ + z² - 4z + 6 ) : ( z + 3 ) = z² - 2z + 2 - ( z³ +3z²) . . . . - 2z² - 4z . . . .- (2z² - 6z) . . . . . . . . . 2z + 6 . . . . . . . . -(2z + 6) . . . . . . . . .---------- sodala, und nun nur noch das Polynom 2. Ordnung in die Mitternachtsformel [die hier vielleicht etwas seltsam aussieht]einsetzen: z(1,2) = (2+-sqrt(4-4))/2 z(1) = 1 z(2) = 1 --> Doppelte Nullstelle [--> Binom] also haben wir: (z+1) [erste Polynomdivision] (z+3) [zweite Polynomdivision] (z-1)² [Binom des Restes] --> (z+1)(z+3)(z-1)(z-1) oder (z+1)*(z+3)*(z-1)² so, ich hoffe, dieses Aufdröseln der Polynomdivision für die Faktorzerlegung hat dir geholfen. Wenn nicht bitte nicht :rolleyes: ! MFG, Gust 
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| 06.12.2003, 11:58 | AndreR | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also sieht ja ganz gut aus, aber wie berücksichtigt ihr, dass die eine sprich die gegebene Nullstelle eine komplexe Zahl ist? Im übrgien, wenn z0=1+i ist, dann ist die konjugiert komplexe Zahl auch eine Nullstelle. Die konjugiert komplexe Zal sollte doch aber 1-i sein und nicht -(1+i). *auf comments gespannt sei* |
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| 07.12.2003, 00:30 | Gust | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ähm, ja, aber ich würde nicht sagen, dass das auch so stimmen könnte, obwohl man auch der Meinung sein könnte, wenn man nicht anderer Meinung ist, ohne anderer Meinun zu sein, aber ich persönlich bin der Meinung, dass du recht haben könntest, wenn du nicht gerade mal nicht recht hast.... Auf deutsch: Ich versteh nur Steußelkuchen ab Bahnhof! über solche Fragen, ob Nullstellen jetzt komplexe Zahlen sind, hab ich mir noch keine Gedanken gemacht, weil immer was vernünftiges Rausgekommen ist... |
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| 24.01.2008, 18:13 | PhilTIler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also ich hab das so z²-2z+2 -> p-q Formel z1,2 = -p/2 +-Wurzel (p/2)² -q = 1+-Wurzel 1-2 = -1 wobei wir wie oben gegeben wieder bei komplexen Zahlen wären Wurzel -1 ist Wurzel aus 1 = 1 und somit z1= 1i z2=-1i dazu kommt p/2 1+1i und 1-1i dann haben wir (z+1)(z+3)(1-1i)² könnt ja ma sagen was ihr davon haltet |
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