vollkommene Zahlen

28.11.2004, 19:37

Mimi

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vollkommene Zahlen

Hallo, ich habe leider ein kleines Problem mit meiner Arithmetik Übung.
Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

A 1 ) Bestimmen Sie alle Darstellungen von 1 als Summe von drei verschiedenen Stammbrüchen.

A2) Zeigen Sie, dass man für jedes n größer/ gleich 3 die Zahl 1 als Summe von n verschiedenen Stammbrüchen schreiben kann.

A3) Für n element N sei T(n) die Anzahl der Teiler und o(n) die Summe der Teiler von n. Zu zeigen:

1. o(n) / T(n) *n
2. T(n)*n dividiert durch o(n) ist eine Primzahl.

A4) Pi(n) ist das Produkt aller positiven Teiler von n.

A4.1) Wenn n keine Quadratzahl ist gilt: Pi(n) = n hoch t wobei gilt: t= T(n) durch 2.

A4.2) Die Formel in A4.1. gilt auch für Quadratzahlen.

28.11.2004, 19:46

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RE: vollkommene Zahlen
Du musst schon selbst mitmachen, also zeig mal, wie weit du bisher gekommen bist.

EDIT:
Falls du mit T(n) und o(n) die Anzahl bzw. Summe der positiven Teiler von n meinst (also z.B. nicht (-1) als Teiler), dann ist Aussage A3) schlichtweg falsch:

Beispiel n=3 mit den Teilern 1 und 3: T(3)=2, o(3)=4
Aber 4 ist kein Teiler von 6=3*2 !!!

28.11.2004, 21:36

4276

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Hallo.
Was habe ich mir denn unter Stammbrüchen vorzustellen? Normale Brüche?

mfG

28.11.2004, 22:06

AD

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Zitat:

Original von 4276
Hallo.
Was habe ich mir denn unter Stammbrüchen vorzustellen? Normale Brüche?
mfG

Nein - nur Brüche der Form 1/n - andernfalls wäre auch A1) sinnlos und A2) zu einfach.

28.11.2004, 22:15

4276

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Könnte man als die Summe con drei Stammbrüchen dann auch 1/2 1/4 und nochmal 1/4 wählen? A1)

28.11.2004, 22:20

AD

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Zitat:

Original von 4276
Könnte man als die Summe con drei Stammbrüchen dann auch 1/2 1/4 und nochmal 1/4 wählen? A1)

Da steht deutlich drei verschiedene, also: Nein!

EDIT:
Das Problem bei A1) ist nicht so sehr die Darstellung 1/2+1/3+1/6=1, sondern auch ordentlich zu begründen, warum das die einzige Lösung ist (ist zwar auch nicht schwer, aber muss schon sorgfältiger gemacht werden).

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28.11.2004, 22:22

4276

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Könntest du vielleicht die richtigen Antworten geben?Es wäre sehr lieb.

28.11.2004, 22:31

4276

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Das ist irgendwie nicht so mein Thema oder ich denke vielleicht auch zu kompliziert. Hast du auch eine Antwort oder Ansätze zu den anderen Aufgaben?

28.11.2004, 22:32

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RE: vollkommene Zahlen
Ich helfe gern, aber zunächst muss ich mich wiederholen:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Du musst schon selbst mitmachen, also zeig mal, wie weit du bisher gekommen bist.

Wenigstens etwas!

Und schaut euch nochmal A3) an, ob diese Aufgabe wirklich so lautet. Wie ich bereits schrieb, ist diese Behauptung in der genannten Form falsch.

EDIT:
A1), A2) und A4) sind kein Problem für mich. A3) ist, wie bereits oben gezeigt, falsch.

28.11.2004, 22:36

4276

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ZU 3.)
Zeigen sie dass für jede gerade vollkommene Zahl gilt: und dann siehe 1.) 2.) von oben. Der Anfang der Aufgabe ist korrekt

28.11.2004, 22:39

4276

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Wieso gibt es bei A1 keine weiteren Darstellungen außer die eine?

28.11.2004, 22:41

pimaniac

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Und übrigens.... fürs nächste Mal wähl doch bitte eines Aussagekräfitigeren Titel.... Weil mit Vollkommenen Zahlen hat das alles nicht viel zu tun

28.11.2004, 22:42

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RE: vollkommene Zahlen
Ein paar Hilfestellungen zu A4) (und zu einem vielleicht doch mal korrigierten A3)):

Sei

$\begin{eqnarray*} n=p_1^{d_1}\cdot p_2^{d_2}\cdot\ldots\cdot p_k^{d_k} \end{eqnarray*}$

die eindeutige Primfaktorzerlegung von n, mit verschiedenen Primzahlen p_1, ... , p_k und positiven ganzen Zahlen d_1, ... , d_k.

a) Dann ist

$\begin{eqnarray*} T(n)=(d_1+1)(d_2+1)\cdot\ldots\cdot(d_k+1) \end{eqnarray*}$

die Anzahl der positiven Teiler von n, und

b)

$\begin{eqnarray*} o(n)=\frac{p_1^{d_1+1}-1}{p_1-1}\cdot\frac{p_2^{d_2+1}-1}{p_2-1}\cdot\ldots\cdot\frac{p_k^{d_k+1}-1}{p_k-1} \end{eqnarray*}$

die Summe aller positiven Teiler von n.

c) Jeder Teiler t von n hat die Form

$\begin{eqnarray*} t=p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}\cdot\ldots\cdot p_k^{e_k} \end{eqnarray*}$

mit nichtnegativen Zahlen e_1, ... , e_k, wobei e_j <= d_j gelten muss.

Hilft das weiter?

28.11.2004, 22:44

4276

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Schon ok,doch das ist nunmal das Thema der meisten Aufgaben wie du viellleicht siehst und außerdem ist es auch der Themenbereich der momentan besprochen wird. Das manche Aufgaben vielleicht nicht ganz reinpassen,ist mir klar.

28.11.2004, 22:45

4276

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Vielen Dank.Das hilft mir sehr weiter.

28.11.2004, 22:51

4276

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RE: vollkommene Zahlen
Hast du auch noch ein paar tips für die anderen Aufgaben? Du scheinst ja ein echter Mathe-experte zu sein smile

smile

28.11.2004, 22:54

AD

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Zitat:

Original von 4276
ZU 3.)
Zeigen sie dass für jede gerade vollkommene Zahl gilt: und dann siehe 1.) 2.) von oben. Der Anfang der Aufgabe ist korrekt

Da hat Mimi ja oben die wesentliche Voraussetzung der Vollkommenheit schlicht weggelassen! Kein Wunder, dass das nicht geklappt hat.

Ok - zu A1):

Sei

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3} = 1 \end{eqnarray*}$

eine solche Darstellung mit Stammbrüchen, wobei a_1 < a_2 < a_3 sein soll.

Klar ist a_1 > 1, andererseits führt die Annahme a_1 > 2 zu

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3} \leq \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5} < 1 \end{eqnarray*}$ ,

also Widerspruch. Somit ist a_1=2.

Weiter: Multiplikation mit 2*a_2*a_3 führt zu

$\begin{eqnarray*} 2(a_2+a_3) = a_2a_3 \end{eqnarray*}$

oder umgeschrieben

$\begin{eqnarray*} (a_2-2)(a_3-2)=4 \end{eqnarray*}$

Wegen a_2 < a_3 bleibt dann nur noch die Variante a_2-2=1 und a_3-2=4, was schließlich auf die einzige Lösung 1/2+1/3+1/6=1 führt.

28.11.2004, 22:58

4276

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Vielen Dank. Was bedeutet der _ ?

28.11.2004, 23:00

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Zu A2)

Sind (a_1, ... , a_n) verschiedene ganze Zahlen, deren Stammbrüche die Summe 1 ergeben, dann erfüllen die (n+1) verschiedenen ganzen Zahlen (2, 2*a_1, 2*a_2, ... , 2*a_n) ebenfalls diese Eigenschaft (vollständige Induktion; der Anfang n=3 ist Aufgabe A1)).

----------------------

So, zu A3) oder A4) will ich aber etwas sehen.

28.11.2004, 23:02

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Zitat:

Original von 4276
Vielen Dank. Was bedeutet der _ ?

a_1 ist dasselbe wie $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ , ich hab bloß keine Lust, wegen jeder kleinen Variablen in den LaTeX-Mode zu schalten, das vergrößert nämlich die Tipparbeit enorm!

28.11.2004, 23:06

4276

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Das ist ja kein Problem.
Ich muss nun mal alles sorgfältig aufschreiben und meine Aufgaben ergänzen.Vielen Dank nochmal. mfG

28.11.2004, 23:50

AD

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Ein letzter Hinweis heute, zu einem Ansatz von A4):

Auch Pi(n) besitzt nur die Primteiler p_1, ... , p_k, also ist

$\begin{eqnarray*} \pi(n) = p_1^{s_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{s_k} \end{eqnarray*}$

mit irgendwelchen ganzzahligen Exponenten s_1, ... , s_k.

Wie bestimmt man nun solch ein s_j ?

Einfach, indem man von allen T(n) Teilern t von n die zu p_j gehörenden Exponenten e_j (was t und e_j sein soll, siehe irgendwo oben im Thread) aufsummiert!

04.12.2006, 08:59

Girly

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Hallo, ich habe die gleichen Aufgaben aufbekommen..hab alles soweit geschafft, nur bei Aufgabe 3 häng ich schon das ganze Wochenende fest.

Hat noch jemand einen Tip??? Büddde

04.12.2006, 09:06

Girly

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Und noch eine Frage.... gibt es einen Trick vom ausrechen der Summer der Teiler von sehr großen Zahlen??? So z.B. von Sigma (13500)???

04.12.2006, 09:25

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Zitat:

Original von Girly
gibt es einen Trick vom ausrechen der Summer der Teiler von sehr großen Zahlen??? So z.B. von Sigma (13500)???

Würde ich nicht als "Trick" bezeichnen, sondern als ganz normale Berechnungsformel. Steht doch hier, Abschnitt b). Du musst den Thread schon richtig lesen.

04.12.2006, 09:52

Girly

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Also erst mal die PFZ: 13500= 2²*3^3*5^3

$\begin{eqnarray*} o= \frac{2^{2+1}-1 }{2-1} \cdot \frac{3^{3+1}-1 }{3-1} \cdot \frac{5^{3+1}-1 }{5-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 7 \cdot 40 \cdot 156 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 43680 \end{eqnarray*}$

Das kann ja nicht stimmen...was mache ich falsch???

04.12.2006, 10:19

Girly

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Ok..stimmt doch...gesucht ist ja nach der Summe und nicht nach der Anzahl... Hammer

Hammer

04.12.2006, 11:24

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Die Anzahl wird gemäß Formel in a) berechnet: $\begin{eqnarray*} d(13\,500) = (2+1)(3+1)(3+1) = 48 \end{eqnarray*}$

09.12.2006, 11:47

Girly

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Hallo, ich habe eine Aufgabe bekommen:
a) Berechen sie $\begin{eqnarray*} \pi(12) ,\pi(20) , \pi (25), \pi (36) \end{eqnarray*}$

diesen Teil hab ich schon, ist ja auch nichts bei.

b) Zeigen sie: wenn n keine Quadratzahl ist gilt : $\begin{eqnarray*} \pi (n) = n^{t} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mit \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} t= \frac{T(n)}{2} \end{eqnarray*}$

Da fängts an...weiß nicht, wie ich beginnen soll verwirrt

verwirrt

c) Zeigen sie : die Formel in b) gilt auch für Quadratzahlen.

Hab ich einfach mit nem Beispiel gezeigt. Reicht das?

Danke und viele Grüße smile

smile

10.12.2006, 19:33

Girly

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hat denn niemand eine Ahnung???? geschockt

geschockt

10.12.2006, 19:41

AD

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Vielleicht sagst du ja mal, was $\begin{eqnarray*} \pi(n) \end{eqnarray*}$ sein soll. In einem mir vorliegenden Buch über Zahlentheorie ist $\begin{eqnarray*} \pi(n) \end{eqnarray*}$ beispielsweise die Anzahl der Primzahlen $\begin{eqnarray*} \leq n \end{eqnarray*}$ - du meinst aber sicher was anderes...

Also nicht generell übliche Abkürzungen erklären, und wenn's auch nur eine sehr kurze Erklärung ist.

10.12.2006, 23:10

Girly

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Also $\begin{eqnarray*} \pi (n) \end{eqnarray*}$ ist das Produkt der Teiler von n... ich hoffe das hilft

10.12.2006, 23:27

AD

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Teile die Menge der Teiler der Nichtquadratzahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in zwei Teilmengen auf:

$\begin{eqnarray*} A_n := \left\{ t\in\mathbb{N} \bigm| t | n \;\mbox{mit}\; 1\leq t < \sqrt{n} \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_n := \left\{ t\in\mathbb{N} \bigm| t | n \;\mbox{mit}\; t > \sqrt{n} \right\} \end{eqnarray*}$

Offenbar umfasst $\begin{eqnarray*} A_n\cup B_n \end{eqnarray*}$ alle positiven Teiler von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Nun gibt es aber eine Bijektion $\begin{eqnarray*} h:\; A_n\to B_n \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} h(t)=\frac{n}{t} \end{eqnarray*}$ . Mit Hilfe dieser Bijektion lässt sich nun $\begin{eqnarray*} \pi(n) \end{eqnarray*}$ sehr einfach berechnen.

11.12.2006, 09:52

Girly

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tut mir leid, ich galube nicht das mir das weiterhilft. aber trotzdem danke smile

smile

11.12.2006, 13:14

AD

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Wie lange hast du denn über diese Idee nachgedacht, dass du so schnell zu diesem Urteil gelangst?

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